以下の不定積分を計算し、空欄を埋める問題です。 (1) $\int \frac{(\sqrt{x}+2)^2}{\sqrt{x}} dx = \frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}} + 3x + 4\sqrt{x} + C$ (2) $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = 5 + C$ (3) $\int (5e^x + x^4) dx = 6e^x + \frac{7}{8}x^5 + C$ (4) $\int 2^x dx = \frac{2^x}{\log 9} + C$ 選択肢から(2)の5に該当するものを選択します。

1. 問題の内容

以下の不定積分を計算し、空欄を埋める問題です。

(1) $\int \frac{(\sqrt{x}+2)^2}{\sqrt{x}} dx = \frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}} + 3x + 4\sqrt{x} + C$

(2) $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = 5 + C$

(3) $\int (5e^x + x^4) dx = 6e^x + \frac{7}{8}x^5 + C$

(4) $\int 2^x dx = \frac{2^x}{\log 9} + C$

選択肢から(2)の5に該当するものを選択します。

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{(\sqrt{x}+2)^2}{\sqrt{x}} = \frac{x + 4\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + 4 + \frac{4}{\sqrt{x}}$

$\int (\sqrt{x} + 4 + \frac{4}{\sqrt{x}}) dx = \int (x^{\frac{1}{2}} + 4 + 4x^{-\frac{1}{2}}) dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + 4x + \frac{4x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + 4x + 8\sqrt{x} + C$

従って、

$\frac{1}{2} = \frac{2}{3} \implies 1 = \frac{4}{3}$, これは誤り。与えられた式と計算結果が異なる。

問題文に合うように係数を調整すると、

$\frac{1}{2}$の係数を持つ項は $x^{3/2}$ なので、$x^{3/2}$の係数は $\frac{3}{2}$

$\frac{2}{3} = \frac{1}{2}$ となるように調整する必要がある。

問題がおかしい。

(2)

$\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = \int \csc^2 x dx = -\cot x + C$

選択肢を確認すると、

(1) $-\frac{1}{\tan x} = -\cot x$

(2) $-\tan x$

(3) $\tan x$

選択肢(1)は $-\cot x$ と同じなので、正解です。

(3)

$\int (5e^x + x^4) dx = 5e^x + \frac{x^5}{5} + C$

問題文に合わせて係数だけ考えると、 $5e^x + \frac{7}{8}x^5 + C$ となっているが、積分結果は $5e^x + \frac{1}{5}x^5 + C$ なので、問題がおかしい。

(4)

$\int 2^x dx = \frac{2^x}{\log 2} + C$

問題文に合わせて係数だけ考えると、 $\frac{2^x}{\log 9} + C$ となっているが、積分結果は $\frac{2^x}{\log 2} + C$ なので、問題がおかしい。

5の選択肢は(1) $-\frac{1}{\tan x}$ が該当します。

3. 最終的な答え

(1) 2/3, 4, 8

(2) (1)

(3) 5, 1/5

(4) 2

問題文の形式に合わせて解答すると、

1: 2/3

2: 4

3: 4

4: 8

5: (1)

6: 5

7: 1

8: 5

9: 2

これらは、問題が間違っていなければの答えです。

問題が正しい場合は、再度計算が必要になります。

上記のように、いくつか計算結果が一致しない箇所があります。

その点を考慮して最終的な回答とします。

最終的な答え：

1: 2

2: 3

3: 4

4: 8

5: (1)

6: 5

7: 1

8: 5

9: 2