与えられた三角関数の式を積の形に変換する問題です。 (1) $\sin 2\theta + \sin \theta$ (2) $\sin \theta - \sin 3\theta$ (3) $2(\cos 2\theta - \cos 6\theta)$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を積の形に変換する問題です。

(1) $\sin 2\theta + \sin \theta$

(2) $\sin \theta - \sin 3\theta$

(3) $2(\cos 2\theta - \cos 6\theta)$

2. 解き方の手順

(1) 和積の公式 $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ を利用します。

$A = 2\theta$, $B = \theta$ とすると、

$\sin 2\theta + \sin \theta = 2 \sin \frac{2\theta + \theta}{2} \cos \frac{2\theta - \theta}{2} = 2 \sin \frac{3\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$

(2) 和積の公式 $\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ を利用します。

$A = \theta$, $B = 3\theta$ とすると、

$\sin \theta - \sin 3\theta = 2 \cos \frac{\theta + 3\theta}{2} \sin \frac{\theta - 3\theta}{2} = 2 \cos 2\theta \sin (-\theta) = -2 \cos 2\theta \sin \theta$

(3) 和積の公式 $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ を利用します。

$A = 2\theta$, $B = 6\theta$ とすると、

$2(\cos 2\theta - \cos 6\theta) = 2 \left( -2 \sin \frac{2\theta + 6\theta}{2} \sin \frac{2\theta - 6\theta}{2} \right) = 2(-2 \sin 4\theta \sin (-2\theta)) = 4 \sin 4\theta \sin 2\theta$

3. 最終的な答え

(1) $2 \sin \frac{3\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$

(2) $-2 \cos 2\theta \sin \theta$

(3) $4 \sin 4\theta \sin 2\theta$