与えられた積分を計算し、空欄を埋める問題です。特に、1と4の空欄は選択肢から選ぶ必要があります。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算し、空欄を埋める問題です。特に、1と4の空欄は選択肢から選ぶ必要があります。

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{3x^2-1}{x^3-x} dx$ の計算

$\frac{d}{dx}(x^3 - x) = 3x^2 - 1$ なので、

$\int \frac{3x^2-1}{x^3-x} dx = \log |x^3-x| + C$

したがって、1の空欄には、選択肢4の $\log |x^3-x|$ が当てはまります。

(2) $\int (4x-3) e^x dx$ の計算

部分積分を行います。$u=4x-3$, $dv=e^x dx$ とすると、$du=4dx$, $v=e^x$ となります。

$\int (4x-3)e^x dx = (4x-3)e^x - \int 4e^x dx = (4x-3)e^x - 4e^x + C = (4x-7)e^x + C$

したがって、2の空欄には4が、3の空欄には7が入ります。

(3) $\int \log x^6 dx$ の計算

$\int \log x^6 dx = 6 \int \log x dx$ です。

部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x}dx$, $v = x$ となります。

$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int dx = x \log x - x + C$

したがって、$\int \log x^6 dx = 6 (x \log x - x) + C$

したがって、4の空欄には、選択肢3の $x \log x - x$ が当てはまります。

(4) $\int x^4 e^{x^5} dx$ の計算

$u = x^5$ とすると、$du = 5x^4 dx$ となります。

$\int x^4 e^{x^5} dx = \int \frac{1}{5} e^u du = \frac{1}{5} e^u + C = \frac{1}{5} e^{x^5} + C$

したがって、5の空欄には1が、6の空欄には5が入ります。

3. 最終的な答え

(1) $\log |x^3 - x| + C$

(2) $(4x - 7)e^x + C$

(3) $6(x \log x - x) + C$

(4) $\frac{1}{5}e^{x^5} + C$

空欄を埋めると以下のようになります。

1: 4

2: 4

3: 7

4: 3

5: 1

6: 5