* (1) $D < 0$ かつ $A > 0$ ならば、$ (\alpha, \beta) \neq (0, 0)$ のとき常に $a_2 > 0$ (極小値) * (2) $D < 0$ かつ $A < 0$ ならば、$ (\alpha, \beta) \neq (0, 0)$ のとき常に $a_2 < 0$ (極大値) * (3) $D > 0$ ならば、$ a_2$ は適当な $ (\alpha, \beta)$ に対して正負両方の値をとりうる。

## 問題の解答

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1. 問題の内容

問題は以下の2つの部分から構成されています。

1. $a_2 = A\alpha^2 + 2B\alpha\beta + C\beta^2$, $D = B^2 - AC$ とおくとき、極値の判別式との関係を示す。具体的には、以下の3つを示す必要があります。

* (1) $D < 0$ かつ $A > 0$ ならば、$(\alpha, \beta) \neq (0, 0)$ のとき常に $a_2 > 0$ (極小値)

* (2) $D < 0$ かつ $A < 0$ ならば、$(\alpha, \beta) \neq (0, 0)$ のとき常に $a_2 < 0$ (極大値)

* (3) $D > 0$ ならば、$a_2$ は適当な $(\alpha, \beta)$ に対して正負両方の値をとりうる。

2. 以下の3つの関数の極値を求める。

* (1) $h(x, y) = 3x^2 - 5xy + 3y^2 - x - y$

* (2) $h(x, y) = -x^2 + xy - y^2 + 4x - 2y$

* (3) $h(x, y) = xy + x^{-1} + 8y^{-1}$

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2. 解き方の手順

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1. 極値の判別式との関係の証明**

$a_2 = A\alpha^2 + 2B\alpha\beta + C\beta^2$ において、$\alpha$ と $\beta$ は任意の実数です。

(1) $D < 0$ かつ $A > 0$ のとき

$D = B^2 - AC < 0$ なので、$AC > B^2$ が成り立ちます。また、$A > 0$ であるため、$C > 0$ も成り立ちます。

$a_2$ を平方完成すると:

$a_2 = A\left(\alpha + \frac{B}{A}\beta\right)^2 + \frac{AC - B^2}{A}\beta^2$

$AC - B^2 > 0$ かつ $A > 0$ であるため、$a_2$ は常に正の値をとります。ただし、$(\alpha, \beta) = (0, 0)$ は除く。

したがって、$a_2 > 0$

(2) $D < 0$ かつ $A < 0$ のとき

$D = B^2 - AC < 0$ なので、$AC > B^2$ が成り立ちます。また、$A < 0$ であるため、$C < 0$ も成り立ちます。

$a_2$ を平方完成すると、(1)と同様に

$a_2 = A\left(\alpha + \frac{B}{A}\beta\right)^2 + \frac{AC - B^2}{A}\beta^2$

$AC - B^2 > 0$ かつ $A < 0$ であるため、$a_2$ は常に負の値をとります。ただし、$(\alpha, \beta) = (0, 0)$ は除く。

したがって、$a_2 < 0$

(3) $D > 0$ のとき

$D = B^2 - AC > 0$ なので、$AC < B^2$ が成り立ちます。

もし $A > 0$ なら、$C$ は正でも負でも構いません。$C > 0$ の場合、$a_2$ が正の値を取るように $\alpha$, $\beta$ を選べます。一方、$C < 0$ の場合、$a_2$ が負の値を取るように $\alpha$, $\beta$ を選べます。

もし $A < 0$ なら、$C$ は正でも負でも構いません。$C < 0$ の場合、$a_2$ が負の値を取るように $\alpha$, $\beta$ を選べます。一方、$C > 0$ の場合、$a_2$ が正の値を取るように $\alpha$, $\beta$ を選べます。

したがって、$a_2$ は正負両方の値をとりえます。

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2. 関数の極値の計算**

各関数 $h(x, y)$ について、以下の手順で極値を求めます。

1. 偏微分を計算する: $h_x = \frac{\partial h}{\partial x}$, $h_y = \frac{\partial h}{\partial y}$

2. 連立方程式 $h_x = 0$, $h_y = 0$ を解き、停留点 $(x_0, y_0)$ を求める。

3. 2階偏微分を計算する: $h_{xx} = \frac{\partial^2 h}{\partial x^2}$, $h_{yy} = \frac{\partial^2 h}{\partial y^2}$, $h_{xy} = \frac{\partial^2 h}{\partial x \partial y}$

4. 判別式 $D = h_{xx}h_{yy} - h_{xy}^2$ を計算する。

5. 各停留点について、$D$ の符号と $h_{xx}$ の符号を調べ、極大、極小、または鞍点であるかを判定する。

* $D > 0$ かつ $h_{xx} > 0$ ならば、極小値

* $D > 0$ かつ $h_{xx} < 0$ ならば、極大値

* $D < 0$ ならば、鞍点

* $D = 0$ ならば、判定不能

**具体的に計算します。**

(1) $h(x, y) = 3x^2 - 5xy + 3y^2 - x - y$

* $h_x = 6x - 5y - 1$

* $h_y = -5x + 6y - 1$

連立方程式 $6x - 5y - 1 = 0$, $-5x + 6y - 1 = 0$ を解くと、$x = 1, y = 1$

停留点 $(1, 1)$

* $h_{xx} = 6$

* $h_{yy} = 6$

* $h_{xy} = -5$

$D = 6 \cdot 6 - (-5)^2 = 36 - 25 = 11 > 0$

$h_{xx} = 6 > 0$ より、$(1, 1)$ で極小値をとる。

$h(1, 1) = 3 - 5 + 3 - 1 - 1 = -1$

(2) $h(x, y) = -x^2 + xy - y^2 + 4x - 2y$

* $h_x = -2x + y + 4$

* $h_y = x - 2y - 2$

連立方程式 $-2x + y + 4 = 0$, $x - 2y - 2 = 0$ を解くと、$x = 2, y = 0$

停留点 $(2, 0)$

* $h_{xx} = -2$

* $h_{yy} = -2$

* $h_{xy} = 1$

$D = (-2) \cdot (-2) - (1)^2 = 4 - 1 = 3 > 0$

$h_{xx} = -2 < 0$ より、$(2, 0)$ で極大値をとる。

$h(2, 0) = -4 + 0 - 0 + 8 - 0 = 4$

(3) $h(x, y) = xy + x^{-1} + 8y^{-1}$

* $h_x = y - x^{-2}$

* $h_y = x - 8y^{-2}$

連立方程式 $y - x^{-2} = 0$, $x - 8y^{-2} = 0$ を解くと、$y = x^{-2}$, $x - 8(x^{-2})^{-2} = 0$, つまり、$x - 8x^4 = 0$。

$x(1 - 8x^3) = 0$ より、$x = 0$ または $x^3 = \frac{1}{8}$。$x = 0$ は $x^{-1}$ が定義できないため不適。

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$y = (\frac{1}{2})^{-2} = 4$

停留点 $(\frac{1}{2}, 4)$

* $h_{xx} = 2x^{-3}$

* $h_{yy} = 16y^{-3}$

* $h_{xy} = 1$

$D = (2x^{-3})(16y^{-3}) - 1^2 = 32x^{-3}y^{-3} - 1$

$(\frac{1}{2}, 4)$ において、

$D = 32 (\frac{1}{2})^{-3} (4)^{-3} - 1 = 32 \cdot 8 \cdot \frac{1}{64} - 1 = 4 - 1 = 3 > 0$

$h_{xx} = 2(\frac{1}{2})^{-3} = 2 \cdot 8 = 16 > 0$ より、$(\frac{1}{2}, 4)$ で極小値をとる。

$h(\frac{1}{2}, 4) = \frac{1}{2} \cdot 4 + (\frac{1}{2})^{-1} + 8(4)^{-1} = 2 + 2 + 2 = 6$

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3. 最終的な答え

1. $a_2 = A\alpha^2 + 2B\alpha\beta + C\beta^2$ と $D = B^2 - AC$ に関する証明は上記参照。

2. 関数の極値は以下の通りです。

* (1) $h(x, y) = 3x^2 - 5xy + 3y^2 - x - y$ は $(1, 1)$ で極小値 $-1$ をとる。

* (2) $h(x, y) = -x^2 + xy - y^2 + 4x - 2y$ は $(2, 0)$ で極大値 $4$ をとる。

* (3) $h(x, y) = xy + x^{-1} + 8y^{-1}$ は $(\frac{1}{2}, 4)$ で極小値 $6$ をとる。