以下の積分を計算します。 (a) $\int_0^\infty (px+q)e^{-sx} dx$ (b) $\int_a^b f'(x)e^{-f(x)} dx$ (c) $\int_0^\pi \sin(x) e^{a\cos(x)} dx$

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

以下の積分を計算します。

(a) $\int_0^\infty (px+q)e^{-sx} dx$

(b) $\int_a^b f'(x)e^{-f(x)} dx$

(c) $\int_0^\pi \sin(x) e^{a\cos(x)} dx$

2. 解き方の手順

(a) 部分積分と基本的な積分公式を利用します。まず、積分を二つに分けます。

$\int_0^\infty (px+q)e^{-sx} dx = p\int_0^\infty xe^{-sx} dx + q\int_0^\infty e^{-sx} dx$

次に、$\int_0^\infty xe^{-sx} dx$を部分積分で計算します。$u = x$、$dv = e^{-sx}dx$ とすると、$du = dx$、$v = -\frac{1}{s}e^{-sx}$ です。

$\int_0^\infty xe^{-sx} dx = \left[-\frac{x}{s}e^{-sx}\right]_0^\infty + \frac{1}{s}\int_0^\infty e^{-sx} dx = 0 + \frac{1}{s}\int_0^\infty e^{-sx} dx$

$\int_0^\infty e^{-sx} dx = \left[-\frac{1}{s}e^{-sx}\right]_0^\infty = \frac{1}{s}$

したがって、

$\int_0^\infty xe^{-sx} dx = \frac{1}{s} \cdot \frac{1}{s} = \frac{1}{s^2}$

$\int_0^\infty (px+q)e^{-sx} dx = p \cdot \frac{1}{s^2} + q \cdot \frac{1}{s} = \frac{p}{s^2} + \frac{q}{s}$

(b) 置換積分を利用します。$u = -f(x)$ とすると、$du = -f'(x)dx$、つまり $f'(x)dx = -du$ です。

$\int_a^b f'(x)e^{-f(x)} dx = \int_{-f(a)}^{-f(b)} e^u (-du) = -\int_{-f(a)}^{-f(b)} e^u du = \int_{-f(b)}^{-f(a)} e^u du$

$= \left[e^u\right]_{-f(b)}^{-f(a)} = e^{-f(a)} - e^{-f(b)}$

(c) 置換積分を利用します。$u = a\cos(x)$ とすると、$du = -a\sin(x)dx$、つまり $\sin(x)dx = -\frac{1}{a}du$ です。

$x=0$ のとき $u = a\cos(0) = a$

$x=\pi$ のとき $u = a\cos(\pi) = -a$

$\int_0^\pi \sin(x) e^{a\cos(x)} dx = \int_a^{-a} e^u (-\frac{1}{a}) du = -\frac{1}{a}\int_a^{-a} e^u du = \frac{1}{a}\int_{-a}^a e^u du$

$= \frac{1}{a} \left[e^u\right]_{-a}^a = \frac{1}{a}(e^a - e^{-a})$

3. 最終的な答え

(a) $\frac{p}{s^2} + \frac{q}{s}$

(b) $e^{-f(a)} - e^{-f(b)}$

(c) $\frac{e^a - e^{-a}}{a}$