$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\cos 2\theta - \sqrt{3} \sin 2\theta - 1 > 0$ を解く。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\cos 2\theta - \sqrt{3} \sin 2\theta - 1 > 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形する。

$\cos 2\theta - \sqrt{3} \sin 2\theta > 1$

左辺を三角関数の合成を用いて変形する。係数 $\cos 2\theta$ の係数 $1$ と $\sin 2\theta$ の係数 $-\sqrt{3}$ を考えると、

$R = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$ となる。

したがって、

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$ かつ $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\alpha$ を考えると、$\alpha = -\frac{\pi}{3}$ である。

よって、

$2 \cos (2\theta + \frac{\pi}{3}) > 1$

$\cos (2\theta + \frac{\pi}{3}) > \frac{1}{2}$

ここで、$t = 2\theta + \frac{\pi}{3}$ とおくと、 $0 \le \theta < 2\pi$ より、

$0 \le 2\theta < 4\pi$

$\frac{\pi}{3} \le 2\theta + \frac{\pi}{3} < 4\pi + \frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{3} \le t < \frac{13\pi}{3}$

$\cos t > \frac{1}{2}$ を解く。

$\cos t = \frac{1}{2}$ となるのは、$t = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}$ である。

$\frac{\pi}{3} \le t < \frac{5\pi}{3}$の範囲では、$\frac{\pi}{3} < t < \frac{5\pi}{3}$

$\frac{7\pi}{3} \le t < \frac{13\pi}{3}$の範囲では、$\frac{7\pi}{3} < t < \frac{11\pi}{3}$

したがって、

$\frac{\pi}{3} < 2\theta + \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{3}$ または $\frac{7\pi}{3} < 2\theta + \frac{\pi}{3} < \frac{11\pi}{3}$

$\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} < 2\theta < \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{3}$ または $\frac{7\pi}{3} - \frac{\pi}{3} < 2\theta < \frac{11\pi}{3} - \frac{\pi}{3}$

$0 < 2\theta < \frac{4\pi}{3}$ または $\frac{6\pi}{3} < 2\theta < \frac{10\pi}{3}$

$0 < \theta < \frac{2\pi}{3}$ または $\pi < \theta < \frac{5\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$0 < \theta < \frac{2\pi}{3}$ または $\pi < \theta < \frac{5\pi}{3}$