与えられた3つの式の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{2\sqrt{3}}$ (2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ (3) $\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{2\sqrt{3}}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

(3) $\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) 分母が $2\sqrt{3}$ なので、分母と分子に $\sqrt{3}$ をかけます。

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\frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{\sqrt{3}}{6}

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(2) 分母が $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ なので、分母と分子に $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ をかけます。

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\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \times (\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2}) \times (\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{3 - \sqrt{6}}{3-2} = \frac{3-\sqrt{6}}{1} = 3 - \sqrt{6}

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(3) 分母が $2+\sqrt{3}$ なので、分母と分子に $2-\sqrt{3}$ をかけます。

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\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{(2-\sqrt{3}) \times (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3}) \times (2-\sqrt{3})} = \frac{4 - 4\sqrt{3} + 3}{4-3} = \frac{7-4\sqrt{3}}{1} = 7-4\sqrt{3}

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{3}}{6}$

(2) $3 - \sqrt{6}$

(3) $7 - 4\sqrt{3}$