$\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求めます。 (1) $a$ (2) $b$ (3) $a + 2b + b^2$

1. 問題の内容

$\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求めます。

(1) $a$

(2) $b$

(3) $a + 2b + b^2$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ を有理化します。

$\frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$

$\sqrt{3}$ の近似値を考えます。$1 < \sqrt{3} < 2$ であることは明らかですが、より正確な評価が必要です。$1.7^2 = 2.89$, $1.8^2 = 3.24$ なので、 $1.7 < \sqrt{3} < 1.8$ がわかります。

したがって、$2 + 1.7 < 2 + \sqrt{3} < 2 + 1.8$

$3.7 < 2 + \sqrt{3} < 3.8$

(1) したがって、$2 + \sqrt{3}$ の整数部分は $a = 3$ です。

(2) 小数部分 $b$ は、$b = (2 + \sqrt{3}) - a = (2 + \sqrt{3}) - 3 = \sqrt{3} - 1$ です。

(3) $a + 2b + b^2$ を計算します。

$a + 2b + b^2 = a + (b+1)^2 -1 = 3 + (\sqrt{3} - 1 + 1)^2 -1 = 3 + (\sqrt{3})^2 -1= 3 + 3 - 1 = 5$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$

(2) $b = \sqrt{3} - 1$

(3) $a + 2b + b^2 = 5$