不等式 $|2x| + |x-5| < 8$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $|2x| + |x-5| < 8$ を解きます。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、場合分けをして考えます。

(1) $x < 0$ のとき

$|2x| = -2x$ かつ $|x-5| = -(x-5) = -x+5$ なので、不等式は

$-2x -x + 5 < 8$

$-3x < 3$

$x > -1$

よって、$-1 < x < 0$

(2) $0 \le x < 5$ のとき

$|2x| = 2x$ かつ $|x-5| = -(x-5) = -x+5$ なので、不等式は

$2x - x + 5 < 8$

$x < 3$

よって、$0 \le x < 3$

(3) $x \ge 5$ のとき

$|2x| = 2x$ かつ $|x-5| = x-5$ なので、不等式は

$2x + x - 5 < 8$

$3x < 13$

$x < \frac{13}{3}$

$\frac{13}{3} = 4\frac{1}{3}$ なので、$x \ge 5$を満たすものは存在しない。

(1), (2), (3) を合わせると、 $-1 < x < 3$ となります。

3. 最終的な答え

$-1 < x < 3$