放物線 $y = -5x^2 + 10x + 2$ を $x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = -5x^2 + 10x + 2$ を $x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線 $y = f(x)$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、$y - q = f(x - p)$ となる。

したがって、$y = -5x^2 + 10x + 2$ を $x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $-4$ だけ平行移動すると、

$y - (-4) = -5(x - 2)^2 + 10(x - 2) + 2$

$y + 4 = -5(x^2 - 4x + 4) + 10x - 20 + 2$

$y + 4 = -5x^2 + 20x - 20 + 10x - 18$

$y + 4 = -5x^2 + 30x - 38$

$y = -5x^2 + 30x - 42$

3. 最終的な答え

$y = -5x^2 + 30x - 42$