三角形ABCにおいて、$b = \sqrt{2}$, $c = 1 + \sqrt{3}$, $A = 45^\circ$のとき、残りの辺の長さ$a$と角の大きさ$B$, $C$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b = \sqrt{2}$, $c = 1 + \sqrt{3}$, $A = 45^\circ$のとき、残りの辺の長さ$a$と角の大きさ$B$, $C$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、余弦定理を用いて$a$を求める。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$a^2 = (\sqrt{2})^2 + (1 + \sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{2})(1 + \sqrt{3}) \cos 45^\circ$

$a^2 = 2 + (1 + 2\sqrt{3} + 3) - 2\sqrt{2}(1 + \sqrt{3}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a^2 = 6 + 2\sqrt{3} - 2(1 + \sqrt{3})$

$a^2 = 6 + 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}$

$a^2 = 4$

$a = 2$

次に、正弦定理を用いて角$B$を求める。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{2}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sin B}$

$\sin B = \frac{\sqrt{2} \sin 45^\circ}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{1}{2}$

したがって、$B = 30^\circ$ または $B = 150^\circ$となる。

$A + B + C = 180^\circ$より、

$B = 30^\circ$のとき、$C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$

$B = 150^\circ$のとき、$C = 180^\circ - 45^\circ - 150^\circ = -15^\circ$となり不適。

よって、$B = 30^\circ$, $C = 105^\circ$となる。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$B = 30^\circ$

$C = 105^\circ$