$\cos \theta = -\frac{1}{4}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めなさい。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$。

1. 問題の内容

$\cos \theta = -\frac{1}{4}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めなさい。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ という公式を利用します。

$\cos \theta$ の値が与えられているので、$\sin \theta$ の値を求めることができます。

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

$\sin^2 \theta = 1 - \left(-\frac{1}{4}\right)^2$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{16}$

$\sin^2 \theta = \frac{15}{16}$

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{15}{16}}$

$\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$

ここで、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ であることから、$\sin \theta > 0$ であるため、

$\sin \theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して $\tan \theta$ を求めます。

$\tan \theta = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{-\frac{1}{4}}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{15}}{4} \times (-4)$

$\tan \theta = -\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan \theta = -\sqrt{15}$