$\sqrt{3}+1$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、(1) $a, b$ を求めよ、(2) $a+\frac{4}{b}$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文に記載されている問題のうち、問題7を解きます。

1. 問題の内容

$\sqrt{3}+1$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、(1) $a, b$ を求めよ、(2) $a+\frac{4}{b}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3}$ の値について考える。

$1^2 = 1$, $2^2 = 4$ であるから、$1 < \sqrt{3} < 2$ である。

より詳しく，$1.7^2 = 2.89$, $1.8^2 = 3.24$ であるから、$1.7 < \sqrt{3} < 1.8$ である。

よって、$2.7 < \sqrt{3}+1 < 2.8$ である。

したがって、整数部分 $a = 2$ である。

小数部分 $b$ は、$b = (\sqrt{3}+1) - a = (\sqrt{3}+1) - 2 = \sqrt{3} - 1$ である。

(2) $a + \frac{4}{b}$ を計算する。

$a + \frac{4}{b} = 2 + \frac{4}{\sqrt{3}-1}$

分母を有理化するために、分母分子に $\sqrt{3}+1$ を掛ける。

$\frac{4}{\sqrt{3}-1} = \frac{4(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{4(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{4(\sqrt{3}+1)}{2} = 2(\sqrt{3}+1) = 2\sqrt{3}+2$

したがって、$a + \frac{4}{b} = 2 + 2\sqrt{3} + 2 = 4 + 2\sqrt{3}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$, $b = \sqrt{3} - 1$

(2) $4 + 2\sqrt{3}$