問題は2つのパートに分かれています。 パート1：次の循環小数を分数で表す。 (1) $2.\dot{3}\dot{4}$ (2) $0.12\dot{3}$ (3) $0.1\dot{2}\dot{3}$ パート2：$a$が次の値をとるとき、$|a+1| + |a-3|$の値を求める。 (1) $a = 5$ (2) $a = -3$ (3) $a = \sqrt{5}$

1. 問題の内容

問題は2つのパートに分かれています。

パート1：次の循環小数を分数で表す。

(1) $2.\dot{3}\dot{4}$

(2) $0.12\dot{3}$

(3) $0.1\dot{2}\dot{3}$

パート2：$a$が次の値をとるとき、$|a+1| + |a-3|$の値を求める。

(1) $a = 5$

(2) $a = -3$

(3) $a = \sqrt{5}$

2. 解き方の手順

パート1：循環小数を分数で表す

(1) $x = 2.\dot{3}\dot{4}$ とする。すると、$100x = 234.\dot{3}\dot{4}$ となる。

$100x - x = 234.\dot{3}\dot{4} - 2.\dot{3}\dot{4}$

$99x = 232$

$x = \frac{232}{99}$

(2) $x = 0.12\dot{3}$ とする。すると、$1000x = 123.\dot{3}$ となる。また、$100x = 12.\dot{3}$となる。

$1000x - 100x = 123.\dot{3} - 12.\dot{3}$

$900x = 111$

$x = \frac{111}{900} = \frac{37}{300}$

(3) $x = 0.1\dot{2}\dot{3}$ とする。すると、$10x = 1.\dot{2}\dot{3}$となる。また、$1000x = 123.\dot{2}\dot{3}$となる。

$1000x - 10x = 123.\dot{2}\dot{3} - 1.\dot{2}\dot{3}$

$990x = 122$

$x = \frac{122}{990} = \frac{61}{495}$

パート2：$|a+1| + |a-3|$ の値を求める

(1) $a = 5$ のとき、

$|a+1| + |a-3| = |5+1| + |5-3| = |6| + |2| = 6 + 2 = 8$

(2) $a = -3$ のとき、

$|a+1| + |a-3| = |-3+1| + |-3-3| = |-2| + |-6| = 2 + 6 = 8$

(3) $a = \sqrt{5}$ のとき、

$|a+1| + |a-3| = |\sqrt{5}+1| + |\sqrt{5}-3|$

$\sqrt{5} \approx 2.236$ より、$\sqrt{5} + 1 > 0$ であり、$\sqrt{5} - 3 < 0$ である。

$|a+1| + |a-3| = (\sqrt{5}+1) + (3 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} + 1 + 3 - \sqrt{5} = 4$

3. 最終的な答え

パート1：

(1) $\frac{232}{99}$

(2) $\frac{37}{300}$

(3) $\frac{61}{495}$

パート2：

(1) $8$

(2) $8$

(3) $4$