式 $(2x^2 - 3xy - y^2)(3x^2 - 2xy + y^2)$ を展開したとき、(1) $x^3y$ の項の係数と (2) $x^2y^2$ の項の係数をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

式 $(2x^2 - 3xy - y^2)(3x^2 - 2xy + y^2)$ を展開したとき、(1) $x^3y$ の項の係数と (2) $x^2y^2$ の項の係数をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x^3y$ の項の係数を求める

与えられた式 $(2x^2 - 3xy - y^2)(3x^2 - 2xy + y^2)$ を展開したとき、$x^3y$ の項は、以下の組み合わせから得られます。

- $2x^2$ と $-2xy$ の積: $2x^2 \times (-2xy) = -4x^3y$

- $-3xy$ と $3x^2$ の積: $-3xy \times 3x^2 = -9x^3y$

したがって、$x^3y$ の項の係数は、$-4 + (-9) = -13$ です。

(2) $x^2y^2$ の項の係数を求める

与えられた式 $(2x^2 - 3xy - y^2)(3x^2 - 2xy + y^2)$ を展開したとき、$x^2y^2$ の項は、以下の組み合わせから得られます。

- $2x^2$ と $y^2$ の積: $2x^2 \times y^2 = 2x^2y^2$

- $-3xy$ と $-2xy$ の積: $-3xy \times (-2xy) = 6x^2y^2$

- $-y^2$ と $3x^2$ の積: $-y^2 \times 3x^2 = -3x^2y^2$

したがって、$x^2y^2$ の項の係数は、$2 + 6 + (-3) = 5$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x^3y$ の項の係数: -13

(2) $x^2y^2$ の項の係数: 5