(5) 円周上に4点 A, B, C, D があり、2つの弦 AB, CD の交点を P とする。AP = 5, BP = 2, CP = 3 であるとき、DP を求める。 (6) 円周上に4点 A, B, C, D があり、直線 AB, CD の交点を P とする。AB = 7, PB = 8, CD = 2 であるとき、PC を求める。

1. 問題の内容

(5) 円周上に4点 A, B, C, D があり、2つの弦 AB, CD の交点を P とする。AP = 5, BP = 2, CP = 3 であるとき、DP を求める。

(6) 円周上に4点 A, B, C, D があり、直線 AB, CD の交点を P とする。AB = 7, PB = 8, CD = 2 であるとき、PC を求める。

2. 解き方の手順

(5) 円の内部の交点に関する公式を利用する。AP * BP = CP * DP が成り立つ。

$5 \times 2 = 3 \times DP$

$10 = 3 \times DP$

$DP = \frac{10}{3}$

(6) 円の外部の交点に関する公式を利用する。PA * PB = PC * PD が成り立つ。PA = AB + PB = 7 + 8 = 15 である。PD = PC + CD = PC + 2 である。

$15 \times 8 = PC \times (PC + 2)$

$120 = PC^2 + 2PC$

$PC^2 + 2PC - 120 = 0$

$(PC + 12)(PC - 10) = 0$

PC > 0 なので、PC = 10

3. 最終的な答え

(5) $\frac{10}{3}$

(6) 10