$a > 0$ のとき、$a + \frac{4}{a} + 3$ の最小値を求め、$a$ がいくつの時に最小値をとるかを答える問題です。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、$a + \frac{4}{a} + 3$ の最小値を求め、$a$ がいくつの時に最小値をとるかを答える問題です。

2. 解き方の手順

相加平均と相乗平均の関係を利用します。

$a>0$ なので、$a$ と $\frac{4}{a}$ はともに正です。

相加平均と相乗平均の関係より、

$a + \frac{4}{a} \geq 2\sqrt{a \cdot \frac{4}{a}}$

$a + \frac{4}{a} \geq 2\sqrt{4}$

$a + \frac{4}{a} \geq 2 \cdot 2$

$a + \frac{4}{a} \geq 4$

したがって、$a + \frac{4}{a} + 3 \geq 4 + 3$

$a + \frac{4}{a} + 3 \geq 7$

等号が成立するのは、$a = \frac{4}{a}$ のときです。

$a^2 = 4$

$a > 0$ より、$a = 2$

したがって、$a = 2$ のとき、$a + \frac{4}{a} + 3$ は最小値 $7$ をとります。

3. 最終的な答え

$a = 2$ のとき、最小値 $7$ をとる。