(1) 第4項が30, 初項から第8項までの和が288である等差数列 $\{a_n\}$ について、初項と公差、そして初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。 (2) 第2項が36, 初項から第3項までの和が156である等比数列 $\{b_n\}$ で公比が1より大きいものについて、初項と公比、そして初項から第 $n$ 項までの和 $T_n$ を求めよ。 (3) 異なる3つの実数 $a, b, c$ がこの順で等差数列になっており、$b, c, a$ の順で等比数列になっている。$a, b, c$ の和が18であるとき、$a, b, c$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 第4項が30, 初項から第8項までの和が288である等差数列 $\{a_n\}$ について、初項と公差、そして初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めよ。

(2) 第2項が36, 初項から第3項までの和が156である等比数列 $\{b_n\}$ で公比が1より大きいものについて、初項と公比、そして初項から第 $n$ 項までの和 $T_n$ を求めよ。

(3) 異なる3つの実数 $a, b, c$ がこの順で等差数列になっており、$b, c, a$ の順で等比数列になっている。$a, b, c$ の和が18であるとき、$a, b, c$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表される。ここで、$a_1$ は初項、$d$ は公差である。

第4項が30なので、$a_4 = a_1 + 3d = 30$ である。

初項から第8項までの和は $S_8 = \frac{8}{2}(2a_1 + (8-1)d) = 4(2a_1 + 7d) = 288$ である。

これを整理すると $2a_1 + 7d = 72$ となる。

連立方程式

$a_1 + 3d = 30$

$2a_1 + 7d = 72$

を解く。1つ目の式を2倍して $2a_1 + 6d = 60$ とし、2つ目の式から引くと $d = 12$ となる。

これを $a_1 + 3d = 30$ に代入すると $a_1 + 3(12) = 30$ より $a_1 = 30 - 36 = -6$ となる。

したがって、初項は $-6$、公差は $12$ である。

$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) = \frac{n}{2}(2(-6) + (n-1)12) = \frac{n}{2}(-12 + 12n - 12) = \frac{n}{2}(12n - 24) = 6n^2 - 12n$ である。

(2)

等比数列の一般項は $b_n = b_1 r^{n-1}$ で表される。ここで、$b_1$ は初項、$r$ は公比である。

第2項が36なので、$b_2 = b_1 r = 36$ である。

初項から第3項までの和は $T_3 = b_1 + b_2 + b_3 = b_1 + b_1 r + b_1 r^2 = b_1(1 + r + r^2) = 156$ である。

$b_1 = \frac{36}{r}$ を $b_1(1 + r + r^2) = 156$ に代入すると $\frac{36}{r}(1 + r + r^2) = 156$ となる。

これを整理すると $36 + 36r + 36r^2 = 156r$ となり、$36r^2 - 120r + 36 = 0$ となる。

これを12で割ると $3r^2 - 10r + 3 = 0$ となり、$(3r - 1)(r - 3) = 0$ となる。

したがって、$r = \frac{1}{3}$ または $r = 3$ である。公比が1より大きいので、$r = 3$ である。

$b_1 r = 36$ より $b_1 = \frac{36}{3} = 12$ となる。

$T_n = \frac{b_1(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{12(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{12(3^n - 1)}{2} = 6(3^n - 1)$ である。

(3)

$a, b, c$ がこの順で等差数列なので、$2b = a + c$ である。

$b, c, a$ がこの順で等比数列なので、$c^2 = ab$ である。

$a + b + c = 18$ である。

$a = 18 - b - c$ を $2b = a + c$ に代入すると $2b = 18 - b - c + c$ より $3b = 18$ となり、$b = 6$ である。

$a = 18 - 6 - c = 12 - c$ となる。

$c^2 = ab$ に $b = 6$ と $a = 12 - c$ を代入すると $c^2 = 6(12 - c)$ となる。

これを整理すると $c^2 + 6c - 72 = 0$ となり、$(c + 12)(c - 6) = 0$ となる。

$c = -12$ または $c = 6$ である。

$a, b, c$ は異なる3つの実数なので、$c \ne b$ より、$c = -12$ である。

$a = 12 - c = 12 - (-12) = 24$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 初項は $-6$, 公差は $12$, $S_n = 6n^2 - 12n$

(2) 初項は $12$, 公比は $3$, $T_n = 6(3^n - 1)$

(3) $a = 24$, $b = 6$, $c = -12$