初項1、公差4の等差数列 $\{a_n\}$ と、初項2、公差7の等差数列 $\{b_n\}$ がある。この2つの数列に共通する項を小さい方から順に並べた数列を $\{c_n\}$ とするとき、数列 $\{c_n\}$ の一般項 $c_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

初項1、公差4の等差数列 $\{a_n\}$ と、初項2、公差7の等差数列 $\{b_n\}$ がある。この2つの数列に共通する項を小さい方から順に並べた数列を $\{c_n\}$ とするとき、数列 $\{c_n\}$ の一般項 $c_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の一般項を求める。

数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = 1 + (n-1)4 = 4n - 3$ である。

数列 $\{b_n\}$ の一般項は $b_n = 2 + (n-1)7 = 7n - 5$ である。

数列 $\{c_n\}$ は $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の共通項なので、$c_n = a_k = b_l$ を満たす自然数 $k$、$l$ が存在する。

よって、$4k - 3 = 7l - 5$ という式が成り立つ。

これを整理すると、

$4k = 7l - 2$

$4k = 4l + 3l - 2$

$4(k-l) = 3l - 2$

$l=2$ のとき、$4(k-2) = 6-2 = 4$ となり、$k-2=1$ より $k=3$ となる。

このとき、$a_3 = 4(3) - 3 = 9$、$b_2 = 7(2) - 5 = 9$ となり、共通項の最初の項は9であることがわかる。

次に、数列 $\{a_n\}$ の公差は4、数列 $\{b_n\}$ の公差は7なので、共通項の数列 $\{c_n\}$ の公差は4と7の最小公倍数である28となる。

よって、数列 $\{c_n\}$ は初項が9、公差が28の等差数列である。

したがって、数列 $\{c_n\}$ の一般項は $c_n = 9 + (n-1)28 = 28n - 19$ である。

3. 最終的な答え

$c_n = 28n - 19$