(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k-7)$ を計算する。 (3) $\sum_{k=1}^{n} (k^3+2k^2+k)$ を計算する。 (5) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ を計算する。

1. 問題の内容

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k-7)$ を計算する。

(3) $\sum_{k=1}^{n} (k^3+2k^2+k)$ を計算する。

(5) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k-7)$

和の公式 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ と $\sum_{k=1}^{n} c = nc$ （$c$は定数） を利用する。

\begin{align*}

\sum_{k=1}^{n} (2k-7) &= 2 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 7 \\

&= 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 7n \\

&= n(n+1) - 7n \\

&= n^2 + n - 7n \\

&= n^2 - 6n \\

&= n(n-6)

\end{align*}

(3) $\sum_{k=1}^{n} (k^3+2k^2+k)$

和の公式 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$ を利用する。

\begin{align*}

\sum_{k=1}^{n} (k^3+2k^2+k) &= \sum_{k=1}^{n} k^3 + 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k \\

&= \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \\

&= \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2} \\

&= \frac{3n^2(n+1)^2 + 4n(n+1)(2n+1) + 6n(n+1)}{12} \\

&= \frac{n(n+1) [3n(n+1) + 4(2n+1) + 6]}{12} \\

&= \frac{n(n+1) (3n^2 + 3n + 8n + 4 + 6)}{12} \\

&= \frac{n(n+1) (3n^2 + 11n + 10)}{12} \\

&= \frac{n(n+1) (3n+5)(n+2)}{12}

\end{align*}

(5) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$

部分分数分解をする。

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}$

$1 = A(2k+1) + B(2k-1)$

$1 = (2A+2B)k + (A-B)$

$2A+2B = 0$ より $A = -B$

$A-B = 1$ より $2A = 1$ なので $A = \frac{1}{2}$

よって $B = -\frac{1}{2}$

したがって

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1/2}{2k-1} - \frac{1/2}{2k+1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

\begin{align*}

\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} &= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) \\

&= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right] \\

&= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) \\

&= \frac{1}{2} \left( \frac{2n+1-1}{2n+1} \right) \\

&= \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n+1} \\

&= \frac{n}{2n+1}

\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) $n(n-6)$

(3) $\frac{n(n+1)(3n+5)(n+2)}{12}$

(5) $\frac{n}{2n+1}$