与えられた式 $a^3 + a^2b - ac^2 - bc^2$ を因数分解します。

## (1) の問題

1. 問題の内容

与えられた式 $a^3 + a^2b - ac^2 - bc^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を $a$ を含む項と $b$ を含む項に分けます。

$a^3 + a^2b - ac^2 - bc^2 = (a^3 + a^2b) - (ac^2 + bc^2)$

それぞれの括弧から共通因数をくくり出します。

$a^2(a + b) - c^2(a + b)$

$(a+b)$ が共通因数なので、くくり出します。

$(a + b)(a^2 - c^2)$

ここで、$a^2 - c^2$ は平方の差なので、さらに因数分解できます。

$(a + b)(a + c)(a - c)$

3. 最終的な答え

$(a + b)(a + c)(a - c)$

## (2) の問題

1. 問題の内容

与えられた式 $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

順番を入れ替えて、$(x+1)(x+4)$ と $(x+2)(x+3)$ を先に計算します。

$(x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4$

$(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$

$x^2 + 5x = t$ と置くと、

$(t + 4)(t + 6) + 1 = t^2 + 10t + 24 + 1 = t^2 + 10t + 25 = (t + 5)^2$

ここで $t = x^2 + 5x$ を代入すると、

$(x^2 + 5x + 5)^2$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 5x + 5)^2$

## (3) の問題

1. 問題の内容

与えられた式 $3x^2 - 4xy + y^2 + 5x - y - 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$x$ について整理します。

$3x^2 + (-4y + 5)x + (y^2 - y - 2)$

まず、定数項の部分を因数分解します。

$y^2 - y - 2 = (y - 2)(y + 1)$

次に、全体の式が因数分解できる形を探します。

$(3x + y + 1)(x - y + 2)$ を展開すると

$3x^2 -3xy + 6x + xy - y^2 + 2y + x + y + 2 = 3x^2 -2xy + 7x -y^2 + 3y + 2$ となり、元の式と合わない。

$(3x - y - 1)(x - y + 2)$を展開すると

$3x^2 -3xy + 6x -xy +y^2 -2y -x + y -2 = 3x^2 -4xy + 5x +y^2 -y -2$

よって、

$(3x-y-1)(x+y+2)=3x^2+3xy+6x-xy-y^2-2y-x-y-2=3x^2+2xy+5x-y^2-3y-2$

$(3x - y - 1)(x + y + 2) = 3x^2 + 3xy + 6x - xy - y^2 - 2y - x - y - 2 = 3x^2 + 2xy + 5x - y^2 - 3y - 2$となり異なる

$(3x-y+a)(x-y+b)$ とおくと

$3x^2-3xy+3bx-xy+y^2-by+ax-ay+ab=3x^2-4xy+y^2+(3b+a)x-(b+a)y+ab$

係数比較により、

$3b+a=5$

$-(b+a)=-1$ よって $b+a=1$

$ab=-2$

$2b=4$ よって $b=2$

$a=-1$

よって、$(3x - y - 1)(x - y + 2)$

3. 最終的な答え

$(3x + y + 2)(x - y -1)$

正しくは、$(3x - y - 1)(x - y + 2)$ です.

$3x^2 -4xy+y^2+5x-y-2=(3x+y+2)(x-y-1)$.

$(3x - y - 1)(x - y + 2) = (3x^2-3xy+6x-xy+y^2-2y-x+y-2)=3x^2-4xy+5x+y^2-y-2$.

$(x-y+2)(3x+y+1) = (3x+y+1)(x-y+2)=3x^2+y^2-4xy+7x-y+2$.

最終的な答え：$(3x + y + 2)(x - y - 1)$