与えられた円錐について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 展開図における扇形の中心角 $a$ を求めます。 (2) 円錐の表面積を求めます。

1. 問題の内容

与えられた円錐について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 展開図における扇形の中心角 $a$ を求めます。

(2) 円錐の表面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 扇形の中心角 $a$ を求める。

円錐の底面の円周の長さは $2 \pi r$ で、rは底面の半径です。図から底面の半径は1なので、底面の円周の長さは $2 \pi \times 1 = 2\pi$ です。

扇形の弧の長さは底面の円周の長さに等しいので、$2\pi$ です。

扇形の半径は円錐の母線の長さに等しく、図からそれは3です。

扇形の弧の長さ $L$ は、$L = 2\pi R \times \frac{a}{360}$ で表されます。ここで、$R$は扇形の半径、$a$ は中心角です。

この問題では、$L=2\pi$、$R=3$ なので、

$2\pi = 2\pi \times 3 \times \frac{a}{360}$

$\frac{1}{3} = \frac{a}{360}$

$a = \frac{360}{3} = 120$

(2) 円錐の表面積を求める。

円錐の表面積は、底面の円の面積と扇形の面積の和で求められます。

底面の円の面積は、$\pi r^2 = \pi \times 1^2 = \pi$ です。

扇形の面積は $\pi R^2 \times \frac{a}{360} = \pi \times 3^2 \times \frac{120}{360} = \pi \times 9 \times \frac{1}{3} = 3\pi$ です。

したがって、円錐の表面積は $\pi + 3\pi = 4\pi$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 扇形の中心角: $120$ 度

(2) 円錐の表面積: $4\pi$