次の2次関数のグラフを描き、頂点と軸を求める問題です。 (1) $y = (x+1)^2 + 2$ (2) $y = -2(x-1)^2 - 3$ (3) $y = \frac{1}{2}(x+2)^2 - 2$ (4) $y = -(x+2)^2 + 1$

1. 問題の内容

次の2次関数のグラフを描き、頂点と軸を求める問題です。

(1) $y = (x+1)^2 + 2$

(2) $y = -2(x-1)^2 - 3$

(3) $y = \frac{1}{2}(x+2)^2 - 2$

(4) $y = -(x+2)^2 + 1$

2. 解き方の手順

2次関数の基本形 $y = a(x-p)^2 + q$ において、

頂点は $(p, q)$ であり、軸は $x = p$ であることを利用します。

グラフの形状は、$a$ の符号と絶対値によって決まります。

$a>0$ ならば下に凸、$a<0$ ならば上に凸。

$|a|$ が大きいほどグラフは狭く、$|a|$ が小さいほどグラフは広くなります。

(1) $y = (x+1)^2 + 2$

$y = (x - (-1))^2 + 2$ と変形できるので、

頂点は $(-1, 2)$ 、軸は $x = -1$ です。

$a = 1 > 0$ なので、下に凸のグラフになります。

(2) $y = -2(x-1)^2 - 3$

頂点は $(1, -3)$ 、軸は $x = 1$ です。

$a = -2 < 0$ なので、上に凸のグラフになります。

(3) $y = \frac{1}{2}(x+2)^2 - 2$

$y = \frac{1}{2}(x - (-2))^2 - 2$ と変形できるので、

頂点は $(-2, -2)$ 、軸は $x = -2$ です。

$a = \frac{1}{2} > 0$ なので、下に凸のグラフになります。

(4) $y = -(x+2)^2 + 1$

$y = -(x - (-2))^2 + 1$ と変形できるので、

頂点は $(-2, 1)$ 、軸は $x = -2$ です。

$a = -1 < 0$ なので、上に凸のグラフになります。

3. 最終的な答え

(1) 頂点: $(-1, 2)$ 、軸: $x = -1$

(2) 頂点: $(1, -3)$ 、軸: $x = 1$

(3) 頂点: $(-2, -2)$ 、軸: $x = -2$

(4) 頂点: $(-2, 1)$ 、軸: $x = -2$