関数 $y = \frac{2x+1}{x}$ ($x > 0$) の逆関数を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x+1}{x}$ ($x > 0$) の逆関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{2x+1}{x}$ を $x$ について解く。

$y = \frac{2x+1}{x}$ より、

$xy = 2x+1$

$xy - 2x = 1$

$x(y - 2) = 1$

$x = \frac{1}{y - 2}$

次に、$x$ と $y$ を入れ替える。

$y = \frac{1}{x - 2}$

ここで、$x > 0$ という条件から、$y$ の範囲を求める。

$y = \frac{2x+1}{x} = 2 + \frac{1}{x}$

$x > 0$ より $\frac{1}{x} > 0$ なので、$y > 2$

逆関数において、$x$ と $y$ が入れ替わるので、逆関数の定義域は元の関数の値域となる。

よって、逆関数の定義域は $x > 2$ となる。

また、元の関数の定義域は逆関数の値域となるので、逆関数の値域は $y > 0$ となる。

$x - 2$ が分母にあるため、$x \neq 2$ である。

また、$x > 2$ なので、 $x - 2 > 0$ である。

したがって、$\frac{1}{x-2} > 0$ となり、$y > 0$ は満たされている。

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{x-2}$ ($x > 2$)