三角形ABCにおいて、$AB=4, CA=2, \angle BAC = 135^\circ$ である。この三角形の面積を求めよ。また、$\angle BAD = 45^\circ$ となるような点Dを辺BC上にとるとき、$AD$ の長さを求めよ。$AD = 4-2\sqrt{2}$ は解答欄に書かれている。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=4, CA=2, \angle BAC = 135^\circ$ である。この三角形の面積を求めよ。また、$\angle BAD = 45^\circ$ となるような点Dを辺BC上にとるとき、$AD$ の長さを求めよ。$AD = 4-2\sqrt{2}$ は解答欄に書かれている。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCの面積を求める。三角形の面積は、2辺とその間の角がわかっていれば計算できる。

三角形ABCの面積は、

$S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(\angle BAC) = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 \times \sin(135^\circ)$

$\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

次に、$AD = 4 - 2\sqrt{2}$であることを利用して、$AD$の長さを確認する。

$\angle BAD = 45^\circ$ なので、$\angle CAD = \angle BAC - \angle BAD = 135^\circ - 45^\circ = 90^\circ$ である。

三角形CADは直角三角形なので、三平方の定理より $CD^2 + AC^2 = AD^2$。

$CD$の長さを求めることを考える。

三角形ABDにおいて、正弦定理より、$\frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$.

$\angle ADB = 180^\circ - 45^\circ - \angle ABD = 135^\circ - \angle ABD$.

$\frac{4-2\sqrt{2}}{\sin(\angle ABD)} = \frac{4}{\sin(135^\circ - \angle ABD)}$

この式から$\angle ABD$を求めるのは難しい。

三角形ABCの面積を2通りで表すことを考える。

$\triangle ABC = \triangle ABD + \triangle ADC$

$2\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times AB \times AD \times \sin(\angle BAD) + \frac{1}{2} \times AC \times AD \times \sin(\angle CAD)$

$2\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times 4 \times AD \times \sin(45^\circ) + \frac{1}{2} \times 2 \times AD \times \sin(90^\circ)$

$2\sqrt{2} = 2 \times AD \times \frac{\sqrt{2}}{2} + AD = AD\sqrt{2} + AD = AD(\sqrt{2} + 1)$

$AD = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{2 - 1} = 4 - 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

三角形ABCの面積は $2\sqrt{2}$

ADの長さは $4 - 2\sqrt{2}$