(1) 右の図の2直線のなす角 $\theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$)を求める。 (2) 直線 $2y-x-2=0$ と $\frac{\pi}{4}$ の角をなす直線の傾きを求める問題に対して、太郎さんの解答の正誤を判断し、誤りがあれば訂正する。太郎さんの解答は以下の通り。 (a) 直線 $2y-x-2=0$ と直線 $x=k$ ($k$は実数)とのなす角は $\frac{\pi}{4}$ ではないから、直線 $x=k$ は不適である。 (b) 直線 $2y-x-2=0$ と $x$軸の正の向きとのなす角を $\theta$ とすると、 $\tan\theta = \frac{1}{2}$ である。 (c) したがって、この直線と $\frac{\pi}{4}$ の角をなす直線の傾きは、 $\tan(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan\theta + \tan\frac{\pi}{4}}{1 - \tan\theta \tan\frac{\pi}{4}} = 3$ よって、求める傾きは、3。

1. 問題の内容

(1) 右の図の2直線のなす角 $\theta$ ($0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$)を求める。

(2) 直線 $2y-x-2=0$ と $\frac{\pi}{4}$ の角をなす直線の傾きを求める問題に対して、太郎さんの解答の正誤を判断し、誤りがあれば訂正する。太郎さんの解答は以下の通り。

(a) 直線 $2y-x-2=0$ と直線 $x=k$ ($k$は実数)とのなす角は $\frac{\pi}{4}$ ではないから、直線 $x=k$ は不適である。

(b) 直線 $2y-x-2=0$ と $x$軸の正の向きとのなす角を $\theta$ とすると、 $\tan\theta = \frac{1}{2}$ である。

(c) したがって、この直線と $\frac{\pi}{4}$ の角をなす直線の傾きは、

$\tan(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan\theta + \tan\frac{\pi}{4}}{1 - \tan\theta \tan\frac{\pi}{4}} = 3$

よって、求める傾きは、3。

2. 解き方の手順

(1) 図から2直線の傾きを読み取る。

1つ目の直線は、点(2,0)と(0,3)を通るので、傾きは $\frac{3-0}{0-2} = -\frac{3}{2}$。

2つ目の直線は、点(-4,0)と(0,2)を通るので、傾きは $\frac{2-0}{0-(-4)} = \frac{1}{2}$。

2直線のなす角を$\theta$とすると、$\tan\theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ で求めることができる。

$\tan\theta = \left| \frac{-\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}{1 + (-\frac{3}{2})(\frac{1}{2})} \right| = \left| \frac{-2}{1 - \frac{3}{4}} \right| = \left| \frac{-2}{\frac{1}{4}} \right| = |-8| = 8$。

$\theta = \arctan 8$ となる。しかし、問題は$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$の範囲で答えよ、とあるため、$\arctan 8$は正しい答えである。

(2) 太郎さんの解答について

(a) これは正しい。直線 $2y-x-2=0$ は $y = \frac{1}{2}x + 1$ と変形でき、傾きは $\frac{1}{2}$である。一方、直線 $x=k$ は傾きが存在しない。この2直線のなす角を $\frac{\pi}{4}$ とすると、$\tan\frac{\pi}{4}=1$なので、傾きの差の絶対値を1 + (傾きの積)で割ったものが1にならなければならない。しかし、傾きの積が定義できないため、この考え方は適用できない。

$2y-x-2=0$と$x=k$のなす角は$\theta$とおくと、$\tan{\theta} = |\frac{1/2 - \infty}{1 + (1/2)*\infty}|$は定義できないので、$\theta = \frac{\pi}{4}$とは限らない。

(b) これは正しい。直線 $2y-x-2=0$ は $y = \frac{1}{2}x + 1$ と変形でき、傾きは $\frac{1}{2}$である。$x$軸の正の向きとのなす角を $\theta$ とすると、 $\tan\theta = \frac{1}{2}$ である。

(c) これは正しい。$\tan(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan\theta + \tan\frac{\pi}{4}}{1 - \tan\theta \tan\frac{\pi}{4}}$ に $\tan\theta = \frac{1}{2}$, $\tan\frac{\pi}{4} = 1$ を代入すると、 $\frac{\frac{1}{2} + 1}{1 - \frac{1}{2} \cdot 1} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$ となる。

しかし、なす角が $\frac{\pi}{4}$ である直線は、傾きが $\tan(\theta + \frac{\pi}{4})$ の直線だけでなく、傾きが $\tan(\theta - \frac{\pi}{4})$ の直線も存在する。

$\tan(\theta - \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan\theta - \tan\frac{\pi}{4}}{1 + \tan\theta \tan\frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{1}{2} - 1}{1 + \frac{1}{2} \cdot 1} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{3}$。

したがって、求める傾きは 3 と $-\frac{1}{3}$ である。太郎さんの解答は、$-\frac{1}{3}$ を求めていないため、不完全である。

訂正後の文章：したがって、この直線と $\frac{\pi}{4}$ の角をなす直線の傾きは、

$\tan(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan\theta + \tan\frac{\pi}{4}}{1 - \tan\theta \tan\frac{\pi}{4}} = 3$

$\tan(\theta - \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan\theta - \tan\frac{\pi}{4}}{1 + \tan\theta \tan\frac{\pi}{4}} = -\frac{1}{3}$

よって、求める傾きは、3 と $-\frac{1}{3}$。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \arctan 8$

(2) (a) 正しい

(b) 正しい

(c) 誤り。正しくは、

したがって、この直線と $\frac{\pi}{4}$ の角をなす直線の傾きは、

$\tan(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan\theta + \tan\frac{\pi}{4}}{1 - \tan\theta \tan\frac{\pi}{4}} = 3$

$\tan(\theta - \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan\theta - \tan\frac{\pi}{4}}{1 + \tan\theta \tan\frac{\pi}{4}} = -\frac{1}{3}$

よって、求める傾きは、3 と $-\frac{1}{3}$。