数列 $\{a_n\}$ があり、$a_1 = 1$, $a_2 = 2$ である。連続する3項 $a_n$, $a_{n+1}$, $a_{n+2}$ は $n$ が奇数のとき等比数列をなし、$n$ が偶数のとき等差数列をなす。 (1) $a_n$ を求めよ。 (2) $a_1$ から $a_{2n}$ までの総和を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ があり、$a_1 = 1$, $a_2 = 2$ である。連続する3項 $a_n$, $a_{n+1}$, $a_{n+2}$ は $n$ が奇数のとき等比数列をなし、$n$ が偶数のとき等差数列をなす。

(1) $a_n$ を求めよ。

(2) $a_1$ から $a_{2n}$ までの総和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_n$ を求める。

$n$ が奇数のとき、$a_n, a_{n+1}, a_{n+2}$ は等比数列をなすので、

$a_{n+1}^2 = a_n a_{n+2}$

$n$ が偶数のとき、$a_n, a_{n+1}, a_{n+2}$ は等差数列をなすので、

$2a_{n+1} = a_n + a_{n+2}$

$a_1 = 1, a_2 = 2$ より、

$n=1$ のとき、$a_1, a_2, a_3$ は等比数列をなすので、 $2^2 = 1 \cdot a_3$ より $a_3 = 4$

$n=2$ のとき、$a_2, a_3, a_4$ は等差数列をなすので、$2 \cdot 4 = 2 + a_4$ より $a_4 = 6$

$n=3$ のとき、$a_3, a_4, a_5$ は等比数列をなすので、$6^2 = 4 \cdot a_5$ より $a_5 = 9$

$n=4$ のとき、$a_4, a_5, a_6$ は等差数列をなすので、$2 \cdot 9 = 6 + a_6$ より $a_6 = 12$

$n=5$ のとき、$a_5, a_6, a_7$ は等比数列をなすので、$12^2 = 9 \cdot a_7$ より $a_7 = 16$

数列 $a_n$ は $1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, \dots$ となる。

奇数番目の項は $1^2, (\sqrt{2})^2, 2^2, (\sqrt{6})^2, 3^2,\dots$なので、$a_{2k-1} = k^2$と予想できる.

偶数番目の項は $2, 6, 12, \dots$なので、$a_{2k} = k(k+1)$と予想できる.

$a_{2k-1} = k^2$, $a_{2k} = k(k+1)$ とすると、

$a_{2k+1}$ を計算すると、$a_{2k}, a_{2k+1}, a_{2k+2}$ は等差数列なので、

$2a_{2k+1} = a_{2k} + a_{2k+2}$

$2a_{2k+1} = k(k+1) + (k+1)(k+2) = (k+1)(k + k+2) = 2(k+1)^2$

$a_{2k+1} = (k+1)^2$

$a_{2k+2}$ を計算すると、$a_{2k+1}, a_{2k+2}, a_{2k+3}$ は等比数列なので、

$a_{2k+2}^2 = a_{2k+1} a_{2k+3}$

$a_{2k+2}^2 = (k+1)^2 (k+2)^2$

$a_{2k+2} = (k+1)(k+2)$

よって、$a_{2k-1} = k^2$, $a_{2k} = k(k+1)$ である。

(2) $a_1$ から $a_{2n}$ までの総和を求める。

$S_{2n} = \sum_{k=1}^{2n} a_k = \sum_{k=1}^{n} a_{2k-1} + \sum_{k=1}^{n} a_{2k}$

$S_{2n} = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k(k+1)$

$S_{2n} = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$

$S_{2n} = \sum_{k=1}^{n} 2k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$S_{2n} = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$

$S_{2n} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2}$

$S_{2n} = \frac{n(n+1)}{6} (2(2n+1) + 3)$

$S_{2n} = \frac{n(n+1)}{6} (4n+2+3) = \frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $a_{2k-1} = k^2$, $a_{2k} = k(k+1)$

(2) $\frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$