$a, b$ は実数であり、$ab < 0$ という条件の下で、次の4つの命題の中から正しいものを1つ選ぶ問題です。もし、どれも正しくない場合は5を選ぶ必要があります。 1. $a < b \implies a^2 < b^2$ 2. $a < b \implies a^2 > b^2$ 3. $a^2 > b^2 \implies a < b$ 4. $a^2 > b^2 \implies a > b$ 5. 上の1から4は全て正しくない

1. 問題の内容

$a, b$ は実数であり、$ab < 0$ という条件の下で、次の4つの命題の中から正しいものを1つ選ぶ問題です。もし、どれも正しくない場合は5を選ぶ必要があります。

1. $a < b \implies a^2 < b^2$

2. $a < b \implies a^2 > b^2$

3. $a^2 > b^2 \implies a < b$

4. $a^2 > b^2 \implies a > b$

5. 上の1から4は全て正しくない

2. 解き方の手順

$ab < 0$ より、$a$ と $b$ は異符号であることがわかります。つまり、$a > 0$ かつ $b < 0$、または、$a < 0$ かつ $b > 0$ のいずれかです。

* 1の命題について

$a < b$ かつ $ab < 0$ なので、$a < 0$ かつ $b > 0$ である。

例えば、$a = -2$、$b = 1$ の場合、$a^2 = 4$、$b^2 = 1$ となり、$a^2 > b^2$ となる。

従って、1の命題は正しくありません。

* 2の命題について

$a < b$ かつ $ab < 0$ なので、$a < 0$ かつ $b > 0$ である。

$a = -2$、$b = 1$ の場合、$a^2 = 4$、$b^2 = 1$ となり、$a^2 > b^2$ となる。

しかし、$a = -1$、$b = 2$ の場合、$a^2 = 1$、$b^2 = 4$ となり、$a^2 < b^2$ となる。

したがって、2の命題も正しくありません。

* 3の命題について

$a^2 > b^2$ かつ $ab < 0$ である。

$a^2 > b^2$ より、$|a| > |b|$ である。

$a < 0$、$b > 0$ の場合、$a = -2$、$b = 1$ で $a^2 = 4$、$b^2 = 1$ なので、$a^2 > b^2$ となり、確かに $a < b$。

$a > 0$、$b < 0$ の場合、$a = 2$、$b = -1$ で $a^2 = 4$、$b^2 = 1$ なので、$a^2 > b^2$ となるが、$a > b$ である。

したがって、3の命題は正しくありません。

* 4の命題について

$a^2 > b^2$ かつ $ab < 0$ である。

$a^2 > b^2$ より、$|a| > |b|$ である。

$a > 0$、$b < 0$ の場合、$a = 2$、$b = -1$ で $a^2 = 4$、$b^2 = 1$ なので、$a^2 > b^2$ となり、$a > b$ である。

$a < 0$、$b > 0$ の場合、$a = -2$、$b = 1$ で $a^2 = 4$、$b^2 = 1$ なので、$a^2 > b^2$ となるが、$a < b$ である。

したがって、4の命題は正しくありません。

3. 最終的な答え

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