$(x-3)^4$ の展開式における $x^2$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(x-3)^4$ の展開式における $x^2$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて $(x-3)^4$ を展開します。二項定理は以下の通りです。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

この問題の場合、$a = x$, $b = -3$, $n = 4$ なので、

$(x-3)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} (-3)^k$

$x^2$ の係数を求めるためには、$4-k = 2$ となる $k$ を見つける必要があります。

$4-k = 2$ より、$k = 2$ であることがわかります。

したがって、$x^2$ の項は $\binom{4}{2} x^{4-2} (-3)^2 = \binom{4}{2} x^2 (-3)^2$ となります。

二項係数 $\binom{4}{2}$ は、 $\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$ と計算できます。

また、 $(-3)^2 = 9$ です。

よって、$x^2$ の項は $6 \times x^2 \times 9 = 54x^2$ となります。

したがって、$x^2$ の係数は54です。

3. 最終的な答え

54