2次関数 $y = x^2 - 2$ のグラフと直線 $y = 2x + 13$ の共有点の座標を求める。

わかりました。画像の問題を解いていきます。

**問題４(1)**

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2$ のグラフと直線 $y = 2x + 13$ の共有点の座標を求める。

2. 解き方の手順

共有点の座標は、2つの式を連立させて得られる方程式の解として求められます。つまり、以下の式を解きます。

$x^2 - 2 = 2x + 13$

この式を整理すると、

$x^2 - 2x - 15 = 0$

この2次方程式を因数分解すると、

$(x - 5)(x + 3) = 0$

したがって、$x = 5$ または $x = -3$。

$x = 5$ のとき、$y = 2(5) + 13 = 10 + 13 = 23$

$x = -3$ のとき、$y = 2(-3) + 13 = -6 + 13 = 7$

3. 最終的な答え

共有点の座標は $(5, 23)$ と $(-3, 7)$ です。

**問題４(2)**

1. 問題の内容

$k$は定数とする。2次関数 $y = -x^2$ のグラフと直線 $y = -2x + k$ の共有点の個数を調べる。

2. 解き方の手順

共有点の個数は、2つの式を連立させて得られる方程式の解の個数によって決まります。つまり、以下の式を解きます。

$-x^2 = -2x + k$

この式を整理すると、

$x^2 - 2x + k = 0$

この2次方程式の判別式 $D$ を計算します。

$D = (-2)^2 - 4(1)(k) = 4 - 4k$

判別式 $D$ の符号によって、共有点の個数が決まります。

* $D > 0$ のとき、共有点は2個。

* $D = 0$ のとき、共有点は1個。

* $D < 0$ のとき、共有点は0個。

したがって、

* $4 - 4k > 0$ つまり $k < 1$ のとき、共有点は2個。

* $4 - 4k = 0$ つまり $k = 1$ のとき、共有点は1個。

* $4 - 4k < 0$ つまり $k > 1$ のとき、共有点は0個。

3. 最終的な答え

* $k < 1$ のとき、共有点は2個。

* $k = 1$ のとき、共有点は1個。

* $k > 1$ のとき、共有点は0個。