台形ABCDにおいて、辺ABの中点をM、辺CDの中点をNとする。対角線DBと線分MNの交点をP、対角線ACと線分MNの交点をQとする。AD = 8cm, BC = 12cmのとき、PQの長さを求める問題です。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、辺ABの中点をM、辺CDの中点をNとする。対角線DBと線分MNの交点をP、対角線ACと線分MNの交点をQとする。AD = 8cm, BC = 12cmのとき、PQの長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

台形ABCDにおいて、中点連結定理を利用します。

まず、線分MNは台形ABCDの中点連結線であるので、

$MN = \frac{AD+BC}{2} = \frac{8+12}{2} = \frac{20}{2} = 10$ (cm)です。

次に、三角形ABDにおいて、MはABの中点であるので、MPは三角形ABDの中点連結線の一部である。したがって、PはDBを$DP:PB = AD:MB=8:6 = 4:3$の比に内分する。

同様に、三角形ABCにおいて、NはACの中点であるので、NQは三角形ABCの中点連結線の一部である。したがって、QはACを$AQ:QC = AD:NC=8:6 = 4:3$の比に内分する。

MPの長さを求めます。三角形ABDにおいて、MPは三角形ABDの中点連結線の一部であるので、

$MP = \frac{AD}{2} = \frac{4}{7} \times MN = \frac{4}{7} \times 10 = 40/7$

また、NQの長さを求めます。三角形ABCにおいて、NQは三角形ABCの中点連結線の一部であるので、

$NQ = \frac{BC}{2} = \frac{3}{7} \times MN = \frac{3}{7} \times 10 = 30/7$

よって、

$PQ = MN - MP - NQ$

$PQ = 10 - \frac{40}{7} - \frac{30}{7} = 10 - \frac{70}{7} = 10 - 10=0$

$AP:PC = 4:3, BP:PD=3:4$

$MP = \frac{AD}{2} = \frac{8}{2} = 4 cm$

$QN = \frac{AD}{2} = \frac{8}{2} = 6 cm$

MN = $\frac{AD+BC}{2} = \frac{8+12}{2}=10 cm$

$MP = \frac{4}{7} MB$

$AP/PC = 4:3$

台形ABCDにおいて、MNはADとBCの中点を結ぶ線分なので、AD//MN//BCとなる。

三角形ADBにおいてMPは中点連結定理から$MP=AD/2 = 8/2 = 4$。

三角形ABCにおいてNQは中点連結定理から$NQ=AD/2=BC/2 = 12/2 = 6$。

$MN=10$であるから、$PQ=MN-MP-NQ=10-4-6=2$。

3. 最終的な答え

2cm