複素数 $z$ に対して、方程式 $|z-1-i|^2 = 2|z+1+i|^2$ を満たす $z$ が表す図形を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に対して、方程式 $|z-1-i|^2 = 2|z+1+i|^2$ を満たす $z$ が表す図形を求める問題です。

2. 解き方の手順

$z = x + yi$ ($x$, $y$ は実数) とおきます。

$|z-1-i|^2 = |(x-1) + (y-1)i|^2 = (x-1)^2 + (y-1)^2$

$|z+1+i|^2 = |(x+1) + (y+1)i|^2 = (x+1)^2 + (y+1)^2$

与えられた方程式に代入すると、

$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2((x+1)^2 + (y+1)^2)$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 2(x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1)$

$x^2 - 2x + y^2 - 2y + 2 = 2x^2 + 4x + 2y^2 + 4y + 4$

$0 = x^2 + 6x + y^2 + 6y + 2$

平方完成を行うと、

$(x^2 + 6x + 9) + (y^2 + 6y + 9) = -2 + 9 + 9$

$(x+3)^2 + (y+3)^2 = 16 = 4^2$

これは、中心が $-3-3i$ で半径が $4$ の円を表します。

3. 最終的な答え

$(x+3)^2 + (y+3)^2 = 16$

もしくは、中心 $-3-3i$, 半径 $4$ の円

$|z+3+3i|=4$