$AE=AG$である二等辺三角形の中に、一辺が13cmの正方形が入っている。$FE=15$cm、$ED=14$cm のとき、三角形$BGC$の面積を求める。

1. 問題の内容

$AE=AG$である二等辺三角形の中に、一辺が13cmの正方形が入っている。$FE=15$cm、$ED=14$cm のとき、三角形$BGC$の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、三角形$AEG$と三角形$ABF$が相似であることを利用する。

正方形の一辺の長さを$x$とすると、$x=13$cmである。

$AE=AG$より、三角形$AEG$は二等辺三角形。また、正方形の内角は90度なので、$\angle AFE = \angle AGD = 90^\circ$

$AE = 15 + AF$

$AG = 14 + GC$

$AE=AG$より、$15 + AF = 14 + GC$

$AF = GC - 1$

三角形$AEG$と三角形$ABF$は相似だから、

$\frac{AF}{AE} = \frac{BF}{EG} = \frac{AB}{AG}$

ここで、正方形の一辺の長さは13cmであるから、$FB=GC=13$。すると、$AF=13-1=12$となる。

よって、$AE = AF + FE = 12 + 15 = 27$となる。

$AE = AG = 27$だから、$GC = AG-CD = 27 - 14 = 13$となる。

$AB = AG - BG$

三角形$AEG$と三角形$ABF$は相似であるから

$\frac{AF}{AE} = \frac{FB}{GE} = \frac{AB}{AG}$

$GE=ED=14$

$\frac{12}{27} = \frac{13}{14} = \frac{AB}{27}$

ABがおかしいので、別の方法で解く。

$AE=AG$なので、$\angle AED = \angle AGC$。

$DE=14$, $EF=15$, $正方形の一辺=13$ である。

$ED=14$, $CD=13$なので、$EC = \sqrt{ED^2+CD^2}$ではない。

三角形EADと三角形GACは相似ではない。

$FD = \sqrt{13^2+13^2} = 13\sqrt{2}$

$EF = 15$

三角形BGCの面積を求めるためには、$BC$の長さと、$BC$に対する高さを知る必要がある。

三角形$AEG$は二等辺三角形だから、点$A$から辺$EG$に下ろした垂線は、$EG$の中点を通る。その中点を$M$とすると、$EM = MG = (ED+DG)/2$。

$ED=14$で、正方形の一辺が13なので、$BF=13$。

三角形BGCの面積を求める。

三角形AECの面積 = 三角形AEG - 正方形FBCG - 三角形AFB

三角形AFBの面積 = $1/2 \times AF \times FB$

3. 最終的な答え

三角形BGCの面積を求めるためには情報が不足しているため、解答できません。