池の周りの1周1000mのランニングコースで、Aさんは分速100m、Bさんは分速250mで走ります。BさんはAさんより遅れて出発します。2人が地点Pで並んだときの記録から、2人の走った距離の合計は4000m、時間の合計は25分であることがわかっています。 問1では、P地点までの2人の走った距離と時間を求め、BさんがAさんより何分遅れて出発したかを求めます。 問2では、BさんがP地点で2回目にAさんと並ぶのが、Aさんがスタート地点を出発してから何分後であるかを求めます。

1. 問題の内容

池の周りの1周1000mのランニングコースで、Aさんは分速100m、Bさんは分速250mで走ります。BさんはAさんより遅れて出発します。2人が地点Pで並んだときの記録から、2人の走った距離の合計は4000m、時間の合計は25分であることがわかっています。

問1では、P地点までの2人の走った距離と時間を求め、BさんがAさんより何分遅れて出発したかを求めます。

問2では、BさんがP地点で2回目にAさんと並ぶのが、Aさんがスタート地点を出発してから何分後であるかを求めます。

2. 解き方の手順

問1

(1) 太郎さんの考え方

Aさんの走った道のりを $x$ mとすると、Bさんの走った道のりは $(4000 - x)$ mです。

Aさんの走った時間は $\frac{x}{100}$ 分、Bさんの走った時間は $\frac{4000-x}{250}$ 分なので、時間の合計は25分という式を作ります。

したがって、アに当てはまる式は$\frac{x}{100} + \frac{4000-x}{250}$ です。

花子さんの考え方

Aさんの走った時間を $x$ 分とすると、Aさんの走った道のりは $100x$ m、Bさんの走った時間は $(25 - x)$ 分、Bさんの走った道のりは $250(25-x)$ mなので、距離の合計は4000mという式を作ります。

したがって、イに当てはまる式は$100x + 250(25-x)$ です。

(2)

太郎さんの考え方から得られた式を使って$x$を求めます。

$\frac{x}{100} + \frac{4000-x}{250} = 25$

両辺に500をかけると、

$5x + 2(4000 - x) = 12500$

$5x + 8000 - 2x = 12500$

$3x = 4500$

$x = 1500$

Aさんの走った道のりは1500mです。Bさんの走った道のりは $4000 - 1500 = 2500$ mです。

(3)

Aさんの走った時間は $\frac{1500}{100} = 15$ 分です。Bさんの走った時間は $\frac{2500}{250} = 10$ 分です。

BさんはAさんより $15 - 10 = 5$ 分遅れて出発しました。

問2

BさんがP地点で2回目にAさんと並ぶとき、2人の走った距離の差はコース1周分の1000mの整数倍になっている必要があります。

また、2人の距離の差はBさんがAさんより早く走ることによって生まれるため、Bさんの走った距離の方が長くなければなりません。

1回目のP地点で並んでから2回目に並ぶまでに、BさんはAさんより1周多く走る必要があります。

1回目に並んだ時からの時間を$t$分とすると、

$250t - 100t = 1000$

$150t = 1000$

$t = \frac{1000}{150} = \frac{20}{3}$

Aさんがスタートしてから2回目に並ぶまでの時間は$15 + \frac{20}{3} = \frac{45+20}{3} = \frac{65}{3}$ 分です。

3. 最終的な答え

問1

(1) ア: $\frac{x}{100} + \frac{4000-x}{250}$ イ: $100x + 250(25-x)$

(2) Aさんの走った道のり: 1500m, Bさんの走った道のり: 2500m

(3) 5分

問2

$\frac{65}{3}$ 分