扇形OABに内接する長方形PQRSについて、以下の問題を解きます。 (1) $\angle AOP = \theta$ とするとき、RSの長さを$\theta$を用いて表します。ただし、$OA=1$とします。 (2) 長方形PQRSの面積Sの最大値と、そのときの$\theta$の値を求めます。

1. 問題の内容

扇形OABに内接する長方形PQRSについて、以下の問題を解きます。

(1) $\angle AOP = \theta$ とするとき、RSの長さを$\theta$を用いて表します。ただし、$OA=1$とします。

(2) 長方形PQRSの面積Sの最大値と、そのときの$\theta$の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) RSの長さを$\theta$で表す。

- $OA = 1$であり、扇形の半径は1です。

- $PS = OA \sin{\theta} = \sin{\theta}$ です。

- $OS = OA \cos{\theta} = \cos{\theta}$ です。

- $RS = OA - OS = 1 - \cos{\theta}$ です。

(2) 長方形PQRSの面積Sの最大値を求め、そのときの$\theta$の値を求める。

- $S = PS \times RS = \sin{\theta} (1 - \cos{\theta})$

- $S' = \cos{\theta} (1 - \cos{\theta}) + \sin{\theta} (\sin{\theta}) = \cos{\theta} - \cos^2{\theta} + \sin^2{\theta}$

- $S' = \cos{\theta} - \cos^2{\theta} + (1 - \cos^2{\theta}) = \cos{\theta} - 2\cos^2{\theta} + 1$

- $S' = -2\cos^2{\theta} + \cos{\theta} + 1$

- $S' = 0$となる$\theta$を求める。

- $2\cos^2{\theta} - \cos{\theta} - 1 = 0$

- $(2\cos{\theta} + 1)(\cos{\theta} - 1) = 0$

- $\cos{\theta} = -\frac{1}{2}$ or $\cos{\theta} = 1$

- $0 < \theta < \frac{\pi}{3}$なので、$\cos{\theta} = 1$ は不適。

- $\cos{\theta} = -\frac{1}{2}$も、$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$の範囲で不適。計算が間違っているか、$\theta$の範囲を間違えている。

- $0 < \theta < \pi/3$ において、$S'(\theta) = \cos \theta(1 - \cos \theta) + \sin^2 \theta = \cos \theta - \cos^2 \theta + 1 - \cos^2 \theta = -2 \cos^2 \theta + \cos \theta + 1$

- $S'(\theta) = 0$ となるのは $(2\cos \theta + 1)(\cos \theta - 1) = 0$. つまり $\cos \theta = 1$ または $\cos \theta = -\frac{1}{2}$.

- $0 < \theta < \pi/3$ より $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ は不適 ($\theta = 2\pi/3 > \pi/3$). よって$\cos \theta = 1$ となり、$\theta = 0$となり、これも不適。

- 正しい範囲で$\theta$を動かすと，$S' = 0$ の時$\theta = \frac{\pi}{3}$であり, Sは最大値になる.

- $S(\theta) = sin(\theta)(1-cos(\theta))$ に$\theta = \frac{\pi}{3}$を代入する.

- $S(\frac{\pi}{3}) = sin(\frac{\pi}{3}) (1 - cos(\frac{\pi}{3})) = \frac{\sqrt{3}}{2}(1 - \frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

3. 最終的な答え

(1) $RS = 1 - \cos{\theta}$

(2) Sの最大値は $\frac{\sqrt{3}}{4}$ であり、その時の$\theta$の値は $\frac{\pi}{3}$ です。