ベクトル $\vec{a} = (2, 1, 0)$ と $\vec{b} = (-2, 1, 2)$ の両方に垂直な単位ベクトルを求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, 1, 0)$ と $\vec{b} = (-2, 1, 2)$ の両方に垂直な単位ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルを求めるために、これらのベクトルの外積を計算します。

$\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = (2, 1, 0) \times (-2, 1, 2)$

外積の計算は次のようになります。

$\vec{c} = (1 \cdot 2 - 0 \cdot 1, 0 \cdot (-2) - 2 \cdot 2, 2 \cdot 1 - 1 \cdot (-2)) = (2, -4, 4)$

次に、ベクトル $\vec{c}$ の大きさを計算します。

$|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$

最後に、$\vec{c}$ をその大きさで割って単位ベクトル $\vec{u}$ を求めます。

$\vec{u} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{(2, -4, 4)}{6} = (\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

求める単位ベクトルは $\vec{u}$ と $-\vec{u}$ です。

3. 最終的な答え

$(\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ と $(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3})$