3点A(2, 1, 2), B(4, 3, 6), C(4, 1, 4)を頂点とする三角形ABCにおいて、角BACの大きさを$\theta$として、$\theta$を求める。

1. 問題の内容

3点A(2, 1, 2), B(4, 3, 6), C(4, 1, 4)を頂点とする三角形ABCにおいて、角BACの大きさを$\theta$として、$\theta$を求める。

2. 解き方の手順

$\vec{AB}$と$\vec{AC}$の内積を利用して$\cos{\theta}$を求める。

まず、$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を計算する。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (4-2, 3-1, 6-2) = (2, 2, 4)$

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (4-2, 1-1, 4-2) = (2, 0, 2)$

$\vec{AB}$と$\vec{AC}$の内積は、

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (2)(2) + (2)(0) + (4)(2) = 4 + 0 + 8 = 12$

$\vec{AB}$と$\vec{AC}$の大きさは、

$|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

$|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 0 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\cos{\theta}$は、

$\cos{\theta} = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{12}{2\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{12}{4\sqrt{12}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$\theta = \arccos{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\theta = \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{6}$ (または $30^\circ$)