ベクトル $\vec{a} = (2, 1, 0)$ とベクトル $\vec{b} = (-2, 1, 2)$ の両方に垂直な単位ベクトルを求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, 1, 0)$ とベクトル $\vec{b} = (-2, 1, 2)$ の両方に垂直な単位ベクトルを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトルを求めるために、外積を計算します。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(2) - (0)(1) \\ (0)(-2) - (2)(2) \\ (2)(1) - (1)(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}$

求まったベクトル $\vec{a} \times \vec{b} = (2, -4, 4)$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直です。

次に、このベクトルを単位ベクトルにするために、ベクトルの大きさを求めます。

$||\vec{a} \times \vec{b}|| = \sqrt{(2)^2 + (-4)^2 + (4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$

最後に、ベクトル $\vec{a} \times \vec{b}$ をその大きさで割って単位ベクトルを求めます。

$\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{||\vec{a} \times \vec{b}||} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}$

また、逆方向の単位ベクトルも解となるので、

$-\begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

も解となります。

3. 最終的な答え

求める単位ベクトルは $\begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$ です。