一辺の長さが2の正四面体ABCDがあり、辺BCの中点をMとする。 (1) $\cos \angle AMD$の値を求めよ。 (2) 直線BCに関して点Dと対称な点をEとする。線分AEの長さを求めよ。 (3) Eは(2)で定めた点とし、辺BDの中点をNとする。$\triangle AEN$の面積を求めよ。また、点Bから平面AENに垂線を引き、平面AENとの交点をHとする。線分BHの長さを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正四面体ABCDがあり、辺BCの中点をMとする。

(1) $\cos \angle AMD$の値を求めよ。

(2) 直線BCに関して点Dと対称な点をEとする。線分AEの長さを求めよ。

(3) Eは(2)で定めた点とし、辺BDの中点をNとする。$\triangle AEN$の面積を求めよ。また、点Bから平面AENに垂線を引き、平面AENとの交点をHとする。線分BHの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \angle AMD$を求める。

$\triangle AMD$において余弦定理を用いる。

$AM=DM=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$

$AD=2$

$\cos \angle AMD = \frac{AM^2+DM^2-AD^2}{2AM \cdot DM} = \frac{3+3-4}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

(2) 線分AEの長さを求める。

Eは直線BCに関してDと対称な点なので、四角形DBCEは正方形である。

したがって、$DE = 2$であり、$DC = EC = 2$である。

$\triangle ACE$において余弦定理を用いる。

$AE^2 = AC^2 + CE^2 - 2AC \cdot CE \cdot \cos \angle ACB$

$\angle ACB = 60^\circ$ なので、$\cos \angle ACB = \frac{1}{2}$

$AE^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 4 + 4 - 4 = 4$

$AE = 2$

(3) $\triangle AEN$の面積を求める。また、線分BHの長さを求める。

$N$は辺$BD$の中点なので、$BN=ND=1$

$\triangle ABD$は正三角形なので、$AN \perp BD$である。

$AN = \sqrt{AB^2 - BN^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$

$\triangle ABE$を考えると、$AE=2$、$BE=2$、$AB=2$より、$\triangle ABE$は正三角形なので、$AE=BE=AB=2$

$\triangle AEN$において、$AE=2$、$AN=\sqrt{3}$、$EN = \sqrt{EB^2+BN^2-2EB \cdot BN \cos(\angle EBN)} = \sqrt{2^2 + 1^2 - 2\cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{5-2\sqrt{3}}$

$\angle EBN=\pi/3$

$EN = \sqrt{5-2\sqrt{3}}$

$s=\frac{2+\sqrt{3}+\sqrt{5-2\sqrt{3}}}{2}$

$\triangle AEN$の面積を$S$とすると、

$S = \sqrt{s(s-2)(s-\sqrt{3})(s-\sqrt{5-2\sqrt{3}})}$

別の考え方として、EからBDに垂線を下ろした交点をOとする。OはBCの中点Mと一致する。

$\triangle AEN$において、$AN = \sqrt{3}$、$AE=2$、$EN = \sqrt{3}$。したがって、$\triangle AEN$は二等辺三角形。

$\triangle AEN$の面積は、高さは$\sqrt{AN^2 - (\frac{1}{2}AE)^2} = \sqrt{3-1} = \sqrt{2}$

底辺はAEで2なので、面積は$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$

$\triangle AEN = \sqrt{2}$

四面体ABENの体積を考える。

四面体ABCDの体積は$\frac{1}{3} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2^2) \cdot \sqrt{2^2 - (\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)^2} = \frac{1}{3} \sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{4}4) = \frac{2\sqrt{2} \sqrt{3}}{12} 2\sqrt{2}/3 = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{2}=\sqrt{2}/3$

底面積をAEN、高さをBHとする。1/3 AEN * BH = 体積ABEN = 1/2 体積ABDE

体積ABDE = 1/2 ABC* 高さh = 1/6

$BH = \frac{3V}{S} = \frac{1/2}{AENの面積}$

四面体ABDEの体積を求めたい。高さAEを底面とした場合、

$\sqrt{2}/2$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \angle AMD = \frac{1}{3}$

(2) $AE=2$

(3) $\triangle AEN$の面積は $\sqrt{2}$、線分BHの長さは $\frac{\sqrt{6}}{3}$