三角形ABCにおいて、$a=2$, $c=1+\sqrt{3}$, $B=30^\circ$のとき、残りの辺の長さ$b$と角$A$, $C$の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=2$, $c=1+\sqrt{3}$, $B=30^\circ$のとき、残りの辺の長さ$b$と角$A$, $C$の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$b$を求めるために余弦定理を用います。

余弦定理より、

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

与えられた値を代入すると、

$b^2 = 2^2 + (1+\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot (1+\sqrt{3}) \cos 30^\circ$

$b^2 = 4 + (1 + 2\sqrt{3} + 3) - 4(1+\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$b^2 = 4 + 4 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}(1+\sqrt{3})$

$b^2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 6$

$b^2 = 2$

$b = \sqrt{2}$

次に、$A$を求めるために正弦定理を用います。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\sin A = \frac{a \sin B}{b}$

$\sin A = \frac{2 \cdot \sin 30^\circ}{\sqrt{2}}$

$\sin A = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{2}}$

$\sin A = \frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、$A = 45^\circ$または$135^\circ$。

$A = 135^\circ$とすると、$A + B = 135^\circ + 30^\circ = 165^\circ$なので、$C = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$となり得ます。

一方、$A = 45^\circ$とすると、$A + B = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ$なので、$C = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$となります。

$A=45^\circ$ のとき、$C = 105^\circ$。

$A=135^\circ$ のとき、$C = 15^\circ$。

$c = 1 + \sqrt{3} \approx 2.73$, $a=2$, $b = \sqrt{2} \approx 1.41$ なので、$c$が一番長い辺であり、$C$が一番大きい角である必要があります。

$A=45^\circ$のとき、$C = 105^\circ$となり、一番大きい角なので、$c=1+\sqrt{3}$が一番長い辺になるという条件に合致します。

$A=135^\circ$のとき、$C=15^\circ$となり、条件に合致しません。

したがって、$A = 45^\circ$、$C = 105^\circ$となります。

3. 最終的な答え

$b = \sqrt{2}$, $A = 45^\circ$, $C = 105^\circ$