平行四辺形ABCDにおいて、辺CDを2:3に内分する点をE、対角線BDを5:3に内分する点をFとする。このとき、3点A, F, Eが一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺CDを2:3に内分する点をE、対角線BDを5:3に内分する点をFとする。このとき、3点A, F, Eが一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて考える。

$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$ とする。

点Fは線分BDを5:3に内分するので、

$$\vec{AF} = \frac{3\vec{AB} + 5\vec{AD}}{3+5} = \frac{3\vec{b} + 5\vec{d}}{8}$$

点Eは線分CDを2:3に内分するので、

$$\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE} = \vec{AD} + \frac{2}{5}\vec{DC} = \vec{d} + \frac{2}{5}\vec{b}$$

$$\vec{AE} = \frac{2}{5}\vec{b} + \vec{d}$$

A, F, Eが一直線上にあることを示すためには、$\vec{AE} = k\vec{AF}$となる実数$k$が存在することを示せばよい。

$$\vec{AE} = \frac{2}{5}\vec{b} + \vec{d} = k(\frac{3\vec{b} + 5\vec{d}}{8}) = \frac{3k}{8}\vec{b} + \frac{5k}{8}\vec{d}$$

$\vec{b}$と$\vec{d}$は一次独立なので、それぞれの係数が等しい必要がある。

$$\frac{2}{5} = \frac{3k}{8}$$

$$1 = \frac{5k}{8}$$

2つ目の式から、$k = \frac{8}{5}$となる。

これを1つ目の式に代入すると、

$$\frac{3k}{8} = \frac{3}{8} \times \frac{8}{5} = \frac{3}{5}$$

となり、$\frac{2}{5} = \frac{3}{5}$は成立しない。

別のアプローチを試みる。

$\vec{AF} = k\vec{AE}$となる$k$を求め、 $\vec{EF}$が$\vec{AE}$または$\vec{AF}$のスカラー倍で表されることを示す。

$\vec{AF} = \frac{3\vec{b} + 5\vec{d}}{8}$

$\vec{AE} = \frac{2}{5}\vec{b} + \vec{d}$

$\vec{AE} = s \vec{AF} = s(\frac{3\vec{b} + 5\vec{d}}{8})$と仮定すると、

$\vec{AE} = \frac{3s}{8} \vec{b} + \frac{5s}{8} \vec{d}$

$\frac{3s}{8} = \frac{2}{5}$, $\frac{5s}{8} = 1$

$s = \frac{16}{15}$, $s = \frac{8}{5}$

矛盾するので、$\vec{AE}$は$\vec{AF}$のスカラー倍で表せない。

$\vec{EF} = \vec{AF} - \vec{AE} = \frac{3\vec{b} + 5\vec{d}}{8} - (\frac{2}{5}\vec{b} + \vec{d}) = (\frac{3}{8} - \frac{2}{5})\vec{b} + (\frac{5}{8} - 1)\vec{d} = (\frac{15-16}{40})\vec{b} + (\frac{5-8}{8})\vec{d} = -\frac{1}{40}\vec{b} - \frac{3}{8}\vec{d}$

$\vec{AE} = \frac{2}{5}\vec{b} + \vec{d}$

$\vec{EF} = k \vec{AE}$となる$k$を求めると、

$-\frac{1}{40}\vec{b} - \frac{3}{8}\vec{d} = k(\frac{2}{5}\vec{b} + \vec{d}) = \frac{2k}{5}\vec{b} + k\vec{d}$

$-\frac{1}{40} = \frac{2k}{5}$ より $k = -\frac{5}{80} = -\frac{1}{16}$

$-\frac{3}{8} = k$

矛盾するので$\vec{EF}$は$\vec{AE}$のスカラー倍ではない。

もう一度確認すると、

$\vec{AF} = \frac{3}{8} \vec{AB} + \frac{5}{8} \vec{AD}$

$\vec{AE} = \frac{2}{5} \vec{AB} + \vec{AD}$

$\vec{EF} = \vec{AF} - \vec{AE} = \left(\frac{3}{8} - \frac{2}{5}\right)\vec{AB} + \left(\frac{5}{8} - 1\right)\vec{AD} = -\frac{1}{40} \vec{AB} - \frac{3}{8} \vec{AD}$

ここで、$\vec{EA} = - \vec{AE} = - \frac{2}{5} \vec{AB} - \vec{AD}$

$\vec{EF} = k \vec{EA}$とすると、$-\frac{1}{40} = - \frac{2}{5} k$および$-\frac{3}{8} = -k$.

したがって、$k = \frac{3}{8}$、そして$k = \frac{5}{80} = \frac{1}{16}$.

これも矛盾する。

平行四辺形なので、$\vec{CD} = \vec{BA}$ であることを利用すると、$\vec{DE} = \frac{2}{5}\vec{BA} = -\frac{2}{5}\vec{b}$

したがって、$\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE} = \vec{d} - \frac{2}{5}\vec{b}$

$\vec{AE} = k\vec{AF}$とすると、$\vec{d} - \frac{2}{5}\vec{b} = k(\frac{3\vec{b} + 5\vec{d}}{8}) = \frac{3k}{8}\vec{b} + \frac{5k}{8}\vec{d}$

したがって、$1 = \frac{5k}{8}$ and $-\frac{2}{5} = \frac{3k}{8}$.

Thus, $k = \frac{8}{5}$. Plugging this into the second equation: $-\frac{2}{5} = \frac{3}{8}*\frac{8}{5} = \frac{3}{5}$. Not equal.

$\vec{EA} = -\vec{d} + \frac{2}{5}\vec{b}$ and $\vec{FA} = -\frac{3}{8}\vec{b} - \frac{5}{8}\vec{d}$.

$\vec{EA} = k \vec{FA}$, so $-\vec{d} + \frac{2}{5}\vec{b} = k (-\frac{3}{8}\vec{b} - \frac{5}{8}\vec{d}) = -\frac{3k}{8}\vec{b} - \frac{5k}{8}\vec{d}$.

Thus $-1 = -\frac{5k}{8}$ and $\frac{2}{5} = -\frac{3k}{8}$, so $k = \frac{8}{5}$. Plugging in: $\frac{2}{5} = -\frac{3}{8}*\frac{8}{5} = -\frac{3}{5}$. Not equal.

解答を見ると、教科書によって解き方が異なると書いてある。

$\vec{AC}$を基準に置く解法が紹介されている。

最終的な答え

3点A, F, Eは一直線上にある。