円に内接する四角形ABCDにおいて、点Aは直線lと円の接点である。角DAB = 60度、角ADB = 60度である。角αと角βの大きさを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、点Aは直線lと円の接点である。角DAB = 60度、角ADB = 60度である。角αと角βの大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

* 三角形ADBについて、$\angle DAB = 60^\circ$、$\angle ADB = 60^\circ$ なので、$\angle DBA = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$。したがって、三角形ADBは正三角形である。

* 接弦定理より、$\angle ACB = \angle DAB = 60^\circ$。

* 四角形ABCDは円に内接するので、対角の和は180度である。したがって、$\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$。

* $\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 60^\circ + \angle BDC$。 また、$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 60^\circ + \alpha$

* ゆえに、$60^\circ + \angle BDC + 60^\circ + \alpha = 180^\circ$ なので、$\angle BDC + \alpha = 60^\circ$

* 円周角の定理より、$\angle BDC = \angle BAC$。また、接弦定理より、$\angle BAC = \angle ABC = 60^\circ + \alpha$。したがって$\angle BDC = 60^\circ + \alpha$

* $\angle BDC + \alpha = 60^\circ$ に $\angle BDC = \alpha$ を代入すると、$\beta + \alpha = 60^\circ$　

* 円周角の定理より、$\angle BDC = \beta$. したがって、$\beta + \alpha = 60^\circ$.

* $\angle BAC = \alpha$ である。

* $\angle BDC = \beta$ なので、$\angle ABC = 180^\circ - \angle ADC$

$\alpha = 180^\circ - (\angle BDA + \beta)$

$\alpha = 180^\circ - 60^\circ - \beta$

$\alpha = 120^\circ - \beta$

$\alpha + \beta = 120^\circ$

* $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$

$\alpha + 60^\circ + \beta = 180^\circ$

$\alpha + \beta = 120^\circ$

* $\angle ACB = 60^\circ = \beta$

* $\angle BDC = \angle BAC$ であり、$\beta = \angle BDC$, $\alpha = \angle BAC$.

$\angle BDC + \alpha = 60^\circ$より、$60^\circ + \angle ABC = 180^\circ$,

$\beta = \angle ABC = 120^\circ$

* 四角形の内角の和より

$60^\circ + \alpha + \beta + 60^\circ = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$

* $\alpha = 60$、$\beta = 0$

$\alpha + 60 = 180 - 60 = 120$

$\alpha + \beta = 120$

$\alpha = 60$

3. 最終的な答え

$\alpha = 60^\circ$

$\beta = 60^\circ$