3つの問題があります。 (30) 直線 $y=2x$ と平行な直線、垂直な直線をそれぞれ選択する。 (31) 2つの直線 $4x-3y-5=0$ と $3x+4y+4=0$ が平行か垂直かを判定する。 (32) 点 $A(-2, -1)$ を通り、直線 $3x-2y+5=0$ に平行な直線と垂直な直線の式をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

3つの問題があります。

(30) 直線 $y=2x$ と平行な直線、垂直な直線をそれぞれ選択する。

(31) 2つの直線 $4x-3y-5=0$ と $3x+4y+4=0$ が平行か垂直かを判定する。

(32) 点 $A(-2, -1)$ を通り、直線 $3x-2y+5=0$ に平行な直線と垂直な直線の式をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(30)

直線の式 $y=mx+n$ において、$m$ は傾きを表します。

平行な直線は傾きが等しく、垂直な直線は傾きの積が $-1$ です。

与えられた直線は $y=2x$ なので、傾きは $2$ です。

1. $y=-2x$ の傾きは $-2$ で、平行でも垂直でもありません。

2. $y=-\frac{1}{2}x+3$ の傾きは $-\frac{1}{2}$ で、垂直でも平行でもありません。

3. $2x-y+5=0$ を変形すると $y=2x+5$ となり、傾きは $2$ です。したがって、平行です。

(31)

2つの直線 $4x-3y-5=0$ と $3x+4y+4=0$ について考えます。

それぞれの式を $y=mx+n$ の形に変形します。

$4x-3y-5=0$ より $3y=4x-5$ なので、$y=\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}$ です。傾きは $\frac{4}{3}$ です。

$3x+4y+4=0$ より $4y=-3x-4$ なので、$y=-\frac{3}{4}x-1$ です。傾きは $-\frac{3}{4}$ です。

2つの傾きの積は $\frac{4}{3} \times (-\frac{3}{4}) = -1$ なので、2つの直線は垂直です。

(32)

点 $A(-2, -1)$ を通り、直線 $3x-2y+5=0$ に平行な直線と垂直な直線の式を求めます。

まず、$3x-2y+5=0$ を変形すると $2y=3x+5$ となり、$y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}$ です。傾きは $\frac{3}{2}$ です。

平行な直線の傾きも $\frac{3}{2}$ なので、求める直線の方程式は $y=\frac{3}{2}x+b$ と表せます。

点 $A(-2, -1)$ を通るので、$-1 = \frac{3}{2}(-2) + b$ が成り立ちます。

$-1 = -3 + b$ より $b = 2$ となります。

したがって、平行な直線の方程式は $y=\frac{3}{2}x+2$ となります。これを変形して $2y=3x+4$、つまり $3x-2y+4=0$ です。

垂直な直線の傾きは $-\frac{2}{3}$ なので、求める直線の方程式は $y=-\frac{2}{3}x+b$ と表せます。

点 $A(-2, -1)$ を通るので、$-1 = -\frac{2}{3}(-2) + b$ が成り立ちます。

$-1 = \frac{4}{3} + b$ より $b = -\frac{7}{3}$ となります。

したがって、垂直な直線の方程式は $y=-\frac{2}{3}x-\frac{7}{3}$ となります。これを変形して $3y=-2x-7$、つまり $2x+3y+7=0$ です。

3. 最終的な答え

(30) 平行な直線：③ $2x-y+5=0$、垂直な直線：なし

(31) 垂直

(32) 平行な直線：$3x-2y+4=0$、垂直な直線：$2x+3y+7=0$