$\triangle OAB$ において、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ とする。実数 $s, t$ が次の条件を満たしながら動くとき、点 $P$ の存在範囲を求める。 (1) $s + 2t = 3$ (2) $1 \leq s + t \leq 2$, $s \geq 0$, $t \geq 0$

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ とする。実数 $s, t$ が次の条件を満たしながら動くとき、点 $P$ の存在範囲を求める。

(1) $s + 2t = 3$

(2) $1 \leq s + t \leq 2$, $s \geq 0$, $t \geq 0$

2. 解き方の手順

(1) $s + 2t = 3$ より、$s = 3 - 2t$ である。

$\overrightarrow{OP} = (3-2t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} = 3\overrightarrow{OA} + t(\overrightarrow{OB} - 2\overrightarrow{OA})$

ここで、$t$ は実数であるから、点 $P$ は点 $3A$ を通り、ベクトル $\overrightarrow{OB} - 2\overrightarrow{OA}$ に平行な直線上にある。

$\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OA}$となる点Cをとると、点Pは点Cを通り、ベクトル$\overrightarrow{OB} - 2\overrightarrow{OA}$ に平行な直線上にある。

したがって点Pは直線CP上にある。

(2) $1 \leq s + t \leq 2$、$s \geq 0$、$t \geq 0$

$s + t = k$ とおくと、$1 \leq k \leq 2$

$s + t = k$ より、$t = k - s$ である。

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + (k-s)\overrightarrow{OB} = s(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) + k\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OP} = k\left(\frac{s}{k}\overrightarrow{OA} + \frac{k-s}{k}\overrightarrow{OB}\right)$

ここで、$\frac{s}{k} + \frac{k-s}{k} = 1$ である。

$\frac{s}{k} = s'$, $\frac{k-s}{k} = t'$ とおくと、$s' + t' = 1$、$s' \geq 0$、$t' \geq 0$

点 $Q$ を $\overrightarrow{OQ} = s'\overrightarrow{OA} + t'\overrightarrow{OB}$ とすると、点 $Q$ は線分 $AB$ 上にある。

$\overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OQ}$ となる点 $P$ は、線分 $AB$ を $k$ 倍した点である。

$1 \leq k \leq 2$ より、点 $P$ は線分 $AB$ を $1$ 倍した線分 $AB$ から線分 $AB$ を $2$ 倍した線分 $A'B'$ の間を動く。

ただし、$\overrightarrow{OA'} = 2\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB'} = 2\overrightarrow{OB}$ とする。

したがって、点 $P$ の存在範囲は、線分 $AB$ と線分 $A'B'$ で囲まれた領域である。

3. 最終的な答え

(1) 点Pは点 $3A$ を通り、ベクトル $\overrightarrow{OB} - 2\overrightarrow{OA}$ に平行な直線上にある。

(2) 点Pの存在範囲は、線分 $AB$ と線分 $A'B'$ で囲まれた領域である。ただし、$\overrightarrow{OA'} = 2\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB'} = 2\overrightarrow{OB}$ とする。