点Oを中心とする半径3の円の内部に点Pがある。Pを通る円Oの弦ABについて、$PA \cdot PB = 2$であるとき、線分OPの長さを求めよ。

1. 問題の内容

点Oを中心とする半径3の円の内部に点Pがある。Pを通る円Oの弦ABについて、$PA \cdot PB = 2$であるとき、線分OPの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

円の性質より、$PA \cdot PB$は、点Pを通る任意の直線と円との交点に対して一定である。

そこで、点Pを通り円の中心Oを通る直線を考え、この直線と円との交点をC, Dとする。

このとき、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$が成り立つ。

$PC = OC - OP = 3 - OP$

$PD = OD + OP = 3 + OP$

よって、$PC \cdot PD = (3 - OP)(3 + OP) = 9 - OP^2$

問題文より、$PA \cdot PB = 2$であるので、

$9 - OP^2 = 2$

$OP^2 = 7$

$OP = \sqrt{7}$

ここで、$OP > 0$であるので、$OP = \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{7}$