三角形ABCにおいて、辺BC上に点P、辺CA上に点Q、辺AB上に点Rがある。AR=2, RB=4, AQ=3, QC=2, BP=x, PC=yである。このとき、x:yを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BC上に点P、辺CA上に点Q、辺AB上に点Rがある。AR=2, RB=4, AQ=3, QC=2, BP=x, PC=yである。このとき、x:yを求めよ。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理を利用して解くことができます。チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、各辺上に点P,Q,Rがあるとき、AP, BQ, CRが一点で交わるならば、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

が成り立つという定理です。

今回の問題では、AP, BQ, CRが一点で交わっているため、チェバの定理が適用できます。与えられた値を代入すると、

$\frac{2}{4} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{2}{3} = 1$

この式をx/yについて解きます。

$\frac{4x}{12y} = 1$

$4x = 12y$

$\frac{x}{y} = \frac{12}{4} = 3$

したがって、x:y = 3:1となります。

3. 最終的な答え

x:y = 3:1