円の中心をOとする円において、$\angle BOC = 30^\circ$、$\angle OBC = 50^\circ$ のとき、$\angle OAD = \alpha$ を求めよ。ただし、点Dは線分ACと線分OBの交点である。

1. 問題の内容

円の中心をOとする円において、$\angle BOC = 30^\circ$、$\angle OBC = 50^\circ$ のとき、$\angle OAD = \alpha$ を求めよ。ただし、点Dは線分ACと線分OBの交点である。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle OBC$に着目する。$\triangle OBC$は二等辺三角形（$OB = OC$）なので、$\angle OCB = \angle OBC = 50^\circ$である。

$\triangle OBC$の内角の和は$180^\circ$なので、

$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ$

$30^\circ + 50^\circ + 50^\circ = 130^\circ$

したがって、$\angle BOC = 30^\circ$、$\angle OBC = 50^\circ$、$\angle OCB = 50^\circ$が与えられている条件と矛盾しない。

次に、円周角の定理より、$\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \times 30^\circ = 15^\circ$である。

$\triangle OAB$に着目すると、$OA = OB$なので、$\triangle OAB$は二等辺三角形である。したがって、$\angle OAB = \angle OBA$である。

$\angle OBA = \angle OBC = 50^\circ$であり、$\angle OAB = \alpha$ であるから、$\alpha = 50^\circ$となる。

3. 最終的な答え

50