三角形ABCの外に点Pがあり、線分BPとACの交点をQ、線分CPとABの交点をRとする。AR = x, RB = y, AQ = 4, QC = 3, CP = 2 とする。BP = 6 であるとき、x:yを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCの外に点Pがあり、線分BPとACの交点をQ、線分CPとABの交点をRとする。AR = x, RB = y, AQ = 4, QC = 3, CP = 2 とする。BP = 6 であるとき、x:yを求めよ。

2. 解き方の手順

この問題はメネラウスの定理を使って解きます。

三角形 ABC と直線 BP について、メネラウスの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

与えられた値を代入すると、

$\frac{x}{y} \cdot \frac{6}{2} \cdot \frac{3}{4} = 1$

$\frac{x}{y} \cdot \frac{18}{8} = 1$

$\frac{x}{y} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

3. 最終的な答え

x:y = 4:9