円の中心をOとする円があり、円周上に点A, B, Cがある。線分OA, OB, AC, BCが引かれている。∠OAC = α, ∠BOC = 30°, ∠ABC = 50°である。このとき、αの値を求める。

1. 問題の内容

円の中心をOとする円があり、円周上に点A, B, Cがある。線分OA, OB, AC, BCが引かれている。∠OAC = α, ∠BOC = 30°, ∠ABC = 50°である。このとき、αの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、円周角の定理より、∠ABCに対する円周角は、中心角∠AOCの半分である。

よって、$∠AOC = 2 \times ∠ABC = 2 \times 50° = 100°$。

次に、∠AOBの大きさを求める。円の中心Oに関する角度について、$∠AOC + ∠BOC + ∠AOB = 360°$ が成り立つとは限らないことに注意する(∠AOBが∠AOCと∠BOCを合わせた角よりも大きい場合がある)。今回は図から、$∠AOB = ∠AOC - ∠BOC$と読み取れる。

よって、$∠AOB = 100° - 30° = 70°$。

ここで、三角形OABに着目すると、OA = OB (円の半径) なので、三角形OABは二等辺三角形である。

したがって、$∠OAB = ∠OBA$。

また、三角形の内角の和は180°なので、$∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°$。

これより、$2∠OAB = 180° - ∠AOB = 180° - 70° = 110°$。

したがって、$∠OAB = 110° / 2 = 55°$。

最後に、$∠OAC = α$ なので、αを求める。

$α = ∠OAB = 55°$

3. 最終的な答え

55