## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

この問題は、以下の4つの小問から構成されています。

(1) 点(1, 2, -1)を通り、ベクトル(2, -1, 3)に直交する平面の方程式を求める。

(2) 点(0, 1, 1)と平面x + y - 4z = 5との距離を求める。

(3) 2つの直線 $x = \frac{y-1}{2} = z-3$ と $\frac{x-1}{2} = y-2 = z$ の位置関係を判定する。

(4) 平面 2x + y + z - 1 = 0 と直線 $\frac{x}{2} = y-1 = z-3$ の交点を求める。

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2. 解き方の手順

**(1) 平面の方程式**

平面上の任意の点(x, y, z)をPとし、与えられた点(1, 2, -1)をAとすると、ベクトル$\overrightarrow{AP} = (x-1, y-2, z+1)$は与えられたベクトル(2, -1, 3)と直交します。

したがって、内積は0になります。

$2(x-1) - (y-2) + 3(z+1) = 0$

$2x - 2 - y + 2 + 3z + 3 = 0$

$2x - y + 3z + 3 = 0$

**(2) 点と平面の距離**

点$(x_0, y_0, z_0)$と平面 $ax + by + cz + d = 0$ との距離は、次の公式で与えられます。

$距離 = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

与えられた点(0, 1, 1)と平面x + y - 4z - 5 = 0に対して、

$距離 = \frac{|1(0) + 1(1) - 4(1) - 5|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-4)^2}} = \frac{|-8|}{\sqrt{18}} = \frac{8}{3\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

**(3) 2直線の位置関係**

直線1: $x = \frac{y-1}{2} = z-3 = t$とおくと、$x=t$, $y=2t+1$, $z=t+3$

直線2: $\frac{x-1}{2} = y-2 = z = s$とおくと、$x=2s+1$, $y=s+2$, $z=s$

交点を持つと仮定すると、$t = 2s+1$, $2t+1 = s+2$, $t+3 = s$

$t = s-3$なので、$s-3 = 2s+1$より$s = -4$

よって、$t = -7$

$2t+1 = -13 \neq s+2 = -2$なので、交点を持たない。

直線1の方向ベクトルは(1, 2, 1)、直線2の方向ベクトルは(2, 1, 1)。これらは平行ではないので、2直線は平行ではない。

よって、2直線はねじれの位置にある。

**(4) 平面と直線の交点**

直線$\frac{x}{2} = y-1 = z-3 = t$とおくと、$x = 2t$, $y = t+1$, $z = t+3$

これらを平面の方程式 2x + y + z - 1 = 0 に代入すると、

$2(2t) + (t+1) + (t+3) - 1 = 0$

$4t + t + 1 + t + 3 - 1 = 0$

$6t + 3 = 0$

$t = -\frac{1}{2}$

したがって、$x = -1$, $y = \frac{1}{2}$, $z = \frac{5}{2}$

交点は $(-1, \frac{1}{2}, \frac{5}{2})$

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3. 最終的な答え

(1)

1. 2x - y + 3z + 3 = 0

(2)

2. $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

(3)

3. ねじれの位置

(4)

3. $(-1, \frac{1}{2}, \frac{5}{2})$